Xur Theorie der complexen Tmahlen. 9 



Ich bilde Jetzt aus einer gewissen Anzahl von allen verschiedenen 

 unter den h . n Faktoren, welche entstehen wenn man in 

 d — !77_ , a\ — w^ , .... {a\ _ , — W;) 

 dem / die Werthe i, 2, 3, . . . tz beilegt, ein Produkt, so beschaffen, daft es 

 möglichst viele vei'schiedene dieser Faktoren enthalte, ohne jedoch durch q 

 theilbar zu sein ; dafs es also durch q theilbar wird, sobald irgend einer die- 

 ser Faktoren, der nicht schon darin enthalten ist, hinzugefügt wird. Bei 

 der Bildung dieses Produkts hat man von den angegebenen h . n Faktoren zu- 

 nächst alle diejenigen zu verwerfen, welche etwa für sich selbst congruent 

 Null sein sollten nach dem Modul q, welches offenbar immer der Fall ist, 

 wenn die Periode w. der Null gleich ist; ferner hat man von allen denen imter 

 diesen Faktoren, welche wegen der Gleichheit der Perioden ro. und der Con- 

 gruenzwurzeln d für verschiedene Werthe des i einander gleich sind, nur je 

 einen beizubehalten; von den übrig bleibenden Faktoren nimmt man einen 

 beliebigen, multiplicirt diesen mit einem zweiten und wenn das Produkt nicht 

 durch q theilbar ist, so fügt man einen dritten hinzu u. s. w. Wird durch Hin- 

 zufügung eines neuen Faktors das Produkt durch q theilbar, so wird derselbe 

 verworfen und ein anderer der noch vorhandenen genommen. Sind auf 

 diese Weise alle verschiedene Faktoren an die Reihe gekommen, also 

 entweder dem Produkte zugefügt oder verworfen, so ist das Produkt befun- 

 den, welches die verlangte Eigenschaft hat, dafs es nicht durch q theilbar 

 ist, dafs es aber durch Multiplikation mit einem jeden noch nicht darin ent- 

 haltenen der obigen Faktoren ein durch (j theilbares Produkt giebt. Sollte 

 der besondere Fall eintreten, dafs alle Faktoren, aus welchen dieses Pro- 

 dukt zu bilden ist, für sich durch q theilbar wären (welcher Fall wirklich 

 eintritt, wenn n eine Primzahl ist und t ^=^ n — 1), so würde dieses Produkt, 

 welches keinen dieser Faktoren enthalten dürfte, einfach gleich Eins zu neh- 

 men sein. Das nach den angegebenen Regeln gebildete Produkt, welches in 

 der ganzen gegenwärtigen Theorie die wichtigste Rolle spielt, bezeichne ich 

 durch 't(ff',). 



Ist nun ro eine beliebige Periode irgend einer Gruppe, und P(;;) = 

 die Gleichung, deren Wurzeln alle Perioden dieser Gruppe sind, welcher 

 ro angehört, und sind d, a\ . . . aj_, alle verschiedenen Wurzeln der Con- 

 gruenz F (z) ^ 0, mod. q, so können die Faktoren 



d — oj, , d, — ST , .... Cj _ j — ro 

 Math. Kl. 1836. B 



