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nicht alle zugleich in dem Produkte *(ro,) enthalten sein, weil sonst vermöge 

 der Congruenz 



{a — tzj,) (a', — ro,) . . . . {a)_ , — tu,) = 0, mod. q, 

 ^(w,) durch q thcilbar sein würde. Es mufs also wenigstens einen dieser 

 Faktoren geben, der in *(ro,) nicht enthalten ist, welchen ich durch m,. — ro, 

 bezeichne, wo u, eine der Zahlen a' , a\ . . . a',_ , , d. h. eine der verschie- 

 denen Wurzeln der Congruenz P(z) = 0, mod. q, vorstellt. Durch Multi- 

 plikation mit diesem Faktor m, — ro. mufs nun ^^iw,) durch q theilbar wer- 

 den; mau hat also 



^(ro,) (u. — tu,) ^ 0, mod. q, 

 oder 



"Iff^tujtu, ^ ^(tu,) • u. , mod. q. 



welche Congruenz für jeden beliebigen Werlh des Index / = t, 2, 3 . . . . n 

 Statt hat, und darum wesentlich ein System von n Congruenzen repräsen- 

 tirt. Aus diesem Systeme von Congruenzen, welches die hauptsächlichste 

 Grundlage der folgenden Untersuchungen bildet, folgt nun zunächst der 

 wichtige Satz : 



Jede rationale Gleichung unter den Perioden tu,, welche 

 aufser diesen nur ganze Zahlen enthält, wird, wenn anstatt 

 der Perioden tu, die entsprechenden Congruenzwurzeln « ge- 

 setzt werden, als Congruenz für den Modul q befriedigt. 



Denkt man sich nämlich die gegebene Gleichung unter den Perioden 

 von den etwa darin vorkommenden Brüchen befreit und alle Glieder auf 

 eine Seite gebracht, so dafs sie die Form F{wJ = annimmt, und multi- 

 plicirt mit '*(tu,), so kann man anstatt ■^'(tu,) tu, überall die für den Mo- 

 dul q congruenten Ausdrücke ^(ro,) u, setzen, und erhält so 



^(tu,) F(ro,) = *(tu,) F(u,), mod. q, 

 wo F{u,) den ganzzahligen Ausdruck bezeichnet, welchen man aus F(tr,) 

 durch die Substitution der ganzen Zahlen u. anstatt der entsprechenden Con- 

 gruenzwurzeln tu,, erhält. Da nun F{rj]^) = ist und ■*(tu,) nicht ^ 0, mod, q, 

 so mufs nothwendig der ganzzahlige Ausdruck F{u,) ^ 0, mod. q, sein, was 

 zu beweisen war. 



Nach diesem Satze erhält man zum Beispiel aus dem Systeme der n* 

 Fundamentalgleichungen für die Perioden, nämlich 



tu. tu = tu, . , -j- tu, , , + tu, , , 2 -f- • • • . -H tu, , . , _ 1 



