Zur Theorie der complexen Zahlen. 11 



für /v = I, 2, ,5, . . . n, h = \, 2, 3, . . . n, augenblicklich das entsprechende 

 System von n^ Congruenzen, welchen die Zahlen w,, u^, w,, . . . m„ genü- 

 gen müssen: 

 uu ^ u -hu +"/.. 7.^2 + •••• + "; _i, I. /- ., niod. n, 



k h k -h h k-t-hq k-\-h<j k -h hq " /' 



für k = i, 2, i, . . . n, h = 1, 2, 3, . . . n, welches System mit Erfolg zur di- 

 rekten Berechnung der Congruenzwurzeln u,, u^, u^, . . . w„ benutzt wer- 

 den kann. 



Die Congruenzwurzeln u, können immer auf mehrere verschiedene 

 Weisen den Perioden ro, entsprechend zugeordnet werden. Verwandelt 

 man nämlich in dem Systeme der Congruenzen : 



■^(ro,) w, = *(ro,) u, mod. g, 

 die den Perioden zu Grunde gelegte primitive Wurzel w der Gleichung 

 w" = 1 in eine andere, z. B. in w' , wo /• relative Primzahl zu n ist, so geht 

 dasselbe über in 



*(ro, ) !37, , ^ ^(ccj w. mod. 7. 



Es giebt nun (p{n) verschiedene primitive Wurzeln co' , oder was dasselbe 

 ist, ip{ji) verschiedene Werthe des r, für welche w' eine primitive Wurzel 

 ist, von diesen geben aber, wie oben (§ 2) gezeigt worden, je t nur genau 

 dieselben Perioden. Die Anzahl der verschiedenen Congruenzen dieser 

 Art ist also nicht gröfser als v =: , und diesen entsprechen eben so viele, 



nämlich v verschiedene Arten und Weisen, wie die Congruenzwurzeln w, den 

 Perioden w^ . zugeordnet und anstatt derselben substituirt werden können, 

 wenn Gleichungen unter den Perioden in Congruenzen unter den Zahlen «, 

 verwandelt werden sollen. Die Substitution, nach welcher die Perioden 

 5j^ , w.,^, Wj, , .... [Ti^, beziehungsweise durch die Zahlen u,, u^, «,, ....u^ 

 ersetzt werden, bezeichne ich einfach als die Substitution ro^ ,. = w , indem 

 i jede der Zahlen 1, 2, 3, ... n repräsenlirt. Genau dieselbe Substitution 

 kann demgemäfs auch als Substitution w. = u^. bezeichnet werden, wenn ^ 

 durch die Congruenz r^ ^ 1 mod. ii, bestimmt ist; die Identität dieser Sub- 

 stitution mit der anderen fällt sogleich in die Augen, wenn man in dieser ir 

 statt / setzt. Bringt man in einer complexen Zahl F{w,) die Substitution 

 cj, = u. an, oder was dasselbe ist, die Substitution m^=zu^. , so soll die daraus 

 entstehende nicht complexe ganze Zahl künftig durch jP(Wj) bezeichnet wer- 

 den ; dieselbe Substitution in F{ ro, ) angebracht wird demnach F{u^,) ergeben. 



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