12 Kummer: 



Es sollen nun die für den vorliegenden Zweck wesentlichen Eigen- 

 schaften der complexen Zahl ^{^,) aufgezeigt werden, und zwar zunächst 

 die folgende : 



Die zu *(ro,) conjugirten complexen Zahlen, deren An- 

 zahl gleich V ist, sind alle wirklich verschieden von einander. 



Wären irgend zwei dieser conjugirten Zahlen einander gleich, z. B. 



wo k und h irgend zwei verschiedene der oben (§. 2) genau bestimmten Zah- 

 len r,, Tg, r,, . . . r^ bedeuten, so würde man durch eine passende Verän- 

 derung der primitiven Wurzel w hieraus eine Gleichung 



erhalten, in welcher ;• relative Primzahl zu ii und keiner Potenz von r/ con- 

 gruent wäre, nach dem Modul n. Da nun aber nach dem Hauptresultate 

 des vorigen Paragraphen 



mod. q, 



■»»•(ro ) w,. = -i{w^) u. ' 



so würde auch 



^(ro,) w, ^ '*(^,) ^r i , mod. q, 



sein, für alle Werthe des i = i, 2, 3, . . . . n. Multiplicirt man diese Con- 

 gruenz auf beiden Seiten mit w" und nimmt die Summe für i = 1, 2, 3, ... . n, 

 so erhält man hieraus 



^(ro,) S, w~' ro = *(!^,) 2, w~'' ro , , mod. q. 



Setzt man nun anstatt der Perioden ihre Ausdrücke durch die W urzel w, 

 so hat man 



'■ (-? - '• (?' — 1) »■ (?' " ' — I) 



W W. = l -h U) -+-W ^-t- + UJ ' 



Nimmt man jetzt die Summen in Beziehung auf j = 1, 2, 3, . . . . 7i und 

 bemerkt, dafs 2, w"" immer gleich Null ist, mit Ausnahme des einen Falles, 

 wo m durch n theilbar, dafs aber q — 1, y^ — i, . . . q' ~ ' — 1 und r — 1, rq — 1, 

 rq^ — 1, . . • . r^' ~ ' — 1 nicht durch n theilbar sind, so hat man 



