Zur Theorie der complejcen Zahlen. 13 



= 0. 



die obige Congruenz giebt daher 



^(sa,) • 71 ^ 0, inod. q, 

 welches unmöglich ist, weil weder die ganze Zahl ii noch die compIexeZahl 

 "^{^t) durch q theilbar ist. Die Annahme, dafs zwei der v mit '^{^,) con- 

 iugirten compiexen Zahlen einander gleich sein könnten, ist also eine falsche. 



Das Produkt je zweier verschiedener zu ^(s;?,) conjugir- 

 ter complexer Zahlen ist stets durch q theilbar. 



Dieser Satz folgt unmittelbar aus der Bildungsweise dieser compiexen 

 Zahlen, welche, wie wir oben gezeigt haben, aus Faktoren von der Form 

 a\ — ro, so zusammengesetzt sind , dafs keiner derselben mehrmals darin ent- 

 halten ist und dafs durch das Hinzutreten eines jeden nicht schon in ''F(!r,) 

 enthaltenen dieser Faktoren das Produkt durch q theilbar wird. Sind nun 

 zwei solche complexe Zahlen verschieden von einander, so enthalten sie 

 nicht genau dieselben Faktoren von dieser Form, sondern eine mufs gewisse 

 enthalten, welche in der andern nicht vorkommen, darum mufs ihr Produkt 

 nothwendig durch q theilbar sein. 



Nach dem Bildungsgesetze, welches wir oben für die durch '^ bezeich- 

 neten Produkte aufgestellt haben, scheint es, als ob einer und derselben 

 Primzahl q mehrere wesentlich verschiedene solche Produkte angehören 

 könnten; dafs diefs aber in der That nicht der Fall ist, wird folgendermaa- 

 fsen gegeigt. 



Sei *(ro,) irgend eines der nach dem im vorigen Paragraphen angege- 

 benen Bildungsgesetze aus den Faktoren von der Form a\ — w, zu bildenden 

 Produkte, so werden auch die zu 'l'(!i',) conjugirten complexenZahlen offen- 

 bar solche Produkte sein, welche sich ebenfalls aus diesen Faktoren bilden 

 lassen und den gegebenen Bedingungen genügen. Es sei nun die Summe 

 dieser mit ^(cp,) conjugirten compiexen Zahlen gleich -17, also 

 M = -^{w ) + ^{w ) + -4'(!3T ) -^ . . . . -h *(a7^ ) 



so ist IM, als symmetrische Funktion dieser Perioden, oder auch als symme- 

 trische Funktion aller primitiven Wurzeln der Gleichung w" = i, eine nicht- 

 complexe ganze Zahl. Die Zahl M ist auch nicht durch q theilbar, denn 



