{i Kummer: 



niulliplioirt man dieselbe mit 1^(03^) und beachtet, dafs das Produkt je zweier 

 verschiedener conjugirter * durch 7 theilbar ist, so hat man 

 ^(ro ) M = -^{w y, mod. 7, 



und weil l'ftT'r,) nicht durch (/ theilbar ist, so ist auch das Quadrat dieser 

 coniplexen Zahl nicht durch q theilbar, also auch 31 nicht durch q theilbar. 

 Wäre nun ^'(ro,) irgend eine von ^Cro,) imd von allen conjugirten derselben 

 verschiedene complexe Zahl, welche ebenfalls nach dem angegebenen Bil- 

 dungsgesetze aus den Faktoren von der Form a\ — w. zusammengesetzt wäre, 

 so würde '*^'(ro,) *(ro, ) nothwendig durch q theilbar sein für alle Werthe 



des r = /•,, /•,,, J\. Die Verschiedenheit des ■*''(ro,) von '*'(ro ) kann 



nämlich nicht darin liegen, dafs eines dieser beiden Produkte irgend einen 

 der Faktoren von der Form a' — w. mehrmals enthält als das andere, weil 

 nach der Voraussetzung keiner dieser Faktoren mehr als einmal in einem sol- 

 chen Produkte vorkommen kann, diese Verschiedenheit müfste daher nur 

 daher kommen, dafs eine der beiden complexen Zahlen '!F'(ro,) und *(nj, ) 

 irgend einen der Faktoren von der Form a\ — w. enthält, welcher in der an- 

 dern nicht vorkommt, woraus folgen würde, dafs das Produkt derselben 

 durch q theilbar sein müfste. Da also alle einzelnen Theile, aus welchen 

 M besteht, nach Mulliplication mit 1''(ro,) durch q theilbar wären, so würde 

 auch '^'{tJi^)M durch q theilbar sein, welches unmöglich ist, weil weder die 

 nichtcomplexc Zahl M, noch die complexe Zahl ^'(ro,) durch q theilbar ist. 

 Das gefundene Resultat läfst sich nun folgendermaafsen aussprechen : 



Die Anzahl aller verschiedenen Produkte, welche nach 

 dem festgesetzten Bildungsgesetze aus den Faktoren von der 

 Form a\ — OJ, gebildet werden können ist gleich v = -^^ und 

 dieselben sind conjugirte complexe Zahlen. Die complexe 

 Zahl ■*'(ro|) ist also, abgesehen von der zu Grunde liegenden 

 primitiven Wurzel co, eine vollständig bestimmte für jede 

 Primzahl q. 



Eine andere wichtige Eigenschaft der complexen Zahl ''i{rz^) erhält 

 man aus der Congruenz 



4^(01,) ^(tzij = l'Cro,) ■*■(*/,), mod. 7, 

 welche aus dem Systeme der Congruenzen 



^(ro,) ro, = '*(ro,) u,, mod. q, 



