Zu/- Theorie der compleacen /zahlen. 15 



unmittelbar folgt , da nämlich 1^(3",) ^(ep^) = 0, mod. </, sobald r weder 

 der Eins noch einer Potenz von </ congruent ist, für den Modul n, so giebt 

 obige Congruenz 



*(tr,) *^(w ) ^ 0, mod. c/, 

 woraus folgt: 



''V{u^ ) ^ 0, mod. f/, 

 für den Fall /• = i aber, wo *(3-,) • *'(ro,) nicht durch </ theilbar ist, folgt 

 eben so : 



M{ii ) nicht ^ (I, mod. (f. 

 Diese Resultate geben folgenden Satz : 



Die complexe Zahl ^(tr,) wird durch die Substitution 

 Cd, , = M, , wenn r für den Modul n weder der Eins noch einer 

 Potenz von q congruent ist, immer eine durch q theilbare, 

 durch die Substitution t,. = ?/, aber eine durch q nicht theil- 

 bare ganze Zahl. 



Aus diesem Satze folgt fast unmittelbar auch der folgende: 



Wenn für eine nur die Perioden enthaltende complexe 

 Zahl F(w^) die Congruenz 



^('mj F{^,) = 0, mod. 7, 

 Statt hat, so ist 



F(Mj) = 0, mod. q, 

 wo durch die Congruenz ro ^ 1, mod. n, bestimmt ist, und 

 auch u mgekehrt: wenn /'(w,) ^ 0, mod. q, so ist ^(tr, ) jp(tr,) ^ 

 mod. q. 



Durch Anwendung der Substitution ro, . = m, , oder was dasselbe ist, 

 a)_ = Wj_ , hat man nämlich aus der Congruenz, welche die Voraussetzung 

 des Satzes bildet, sogleich 'i{u,) ^{u,) = 0, mod. q, und weil !'(«,) nicht 

 durch q [heilbar ist, niufs F{u^) ^ 0, mod. q, sein. Multiplicirt man aber 

 F{u^) mit lf(ro, ) und ersetzt umgekehrt die Congruenzwurzeln durch die 

 Perioden, nach der Substitution tu, = m^ ,, so erhält man aus F(u^) = 0, 

 mod. q, sogleich J^(cü,) J'\wJ ^ mod. q. 



Die Congruenzwurzeln w,, u.,, a, . . . . t/„, welche den Perioden cp,, 

 cöj, CD3 . . . . ro,, auf V verschiedene Weisen entsprechen, können, wenn den- 

 selben passende Vielfache von q zugefügt werden, immer so gewählt wer- 

 den, dafs sie, in einer rationalen Gleichung unter den Perioden substituirt, 



