Zur Theorie der complexen Zahlen. 17 



Jede rationale Gleichung unter den Perioden ro , welche 

 aufser diesen nur ganze Zahlen enthält, wird, wenn anstatt der 

 Perioden cp,, w.,^, ro,, .... ro„, beziehungsweise die ganzen Zah- 

 len u,, u„, «3 . . . . w„ gesetzt werden, alsodurch dieSubstitution 

 5;^_ = M, , als Congruenz für den Modul 9" befriedigt. 



Ferner hat man für die Zahlen m, und den Modul q"" genau ebenso 

 den Satz : 



Die Bedingung *(ro, ) "F(57' )=0, mod. r/", ist gleichbedeu- 

 tend mit F{u^) ^0, mod. q", wo r^^ 1, mod. ii. 



In Betreff derjenigen Perioden ro , in welchen i mit n einen gemein- 

 schaftlichen Faktor hat, welche also eigentlich nicht die n"", sondern niedere 

 Wurzeln der Einheit enthalten, ist hier noch zu bemerken, dafs es in einzel- 

 nen Fällen nöthig ist dieselben besonders zu betrachten, wenn gleich sie, wie 

 in dem Vorhergehenden gezeigt worden ist, genau denselben allgemeinen 

 Regeln unterworfen sind, als die nur die primitiven Wurzeln der Gleichung 



M = 1 enthaltenden. Wenn in dem Ausdrucke der Periode 



.2 . I —< 



I 11/ in Kl 



Sü == W -i- Oü -t- et) + .... -i- CD 



i mit n den gröfsten gemeinschaftlichen Faktor v hat und i= vi', n = vn ge- 

 setzt wird, wo i und ri relative Primzahlen sind und wenn q zum Exponen- 

 ten T gehört in Beziehung auf den Modul n', so ist t nothwcndig ein Divisor 

 von /. Setzt man daher t ^= dr, so werden niu' die ersten t Glieder dieser 

 Periode verschieden von einander und dieselben wiederholen sich </mal, es 

 wird also 



W=: a {w + U) + W -f-...-J-W ) 



Diesen ganzzahligen Faktor d kann man nun in den niederen Perioden, so- 

 wohl bei der Ermittelung der den Perioden entsprechenden Congruenzwur- 

 zeln, als bei der Bildung der mit ^ bezeichneten complexen Zahlen überall 

 beibehalten, oder auch weglassen, wodurch in den entwickelten Methoden 

 luid Sätzen nichts geändert wird. In dem besonderen Falle aber, wo d durch 

 die Primzahl q theilbar ist, ist es unbedingt nöthig, dafs dieser ganzzahlige 

 Faktor weggelassen und die Periode nicht als aus i Gliedern von denen je d 

 einander gleich sind, sondern nur als aus den r verschiedenen Gliedern be- 

 stehend angenommen wird. In diesem Falle, welcher übrigens nur für ge- 

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