Tur Theorie der complexen Zahlen. 19 



Wenn eine com p lex e Zahl F{ui) die Eigenschaft hat, dafs 

 ■•¥{w,) F{uj) = 0, mod. q, 

 so soll von dieser Zahl /''(w) ausgesagt werden: sie enthält einen 

 idealen Primfaktor des q, und zwar denjenigen, welcher zur 

 Substitution t37, . = w, gehört. Hat die complexe Z ahl /^(w) aus- 

 serdem die Eigenschaft, dafs 



^(ro ) '"F(üj) = 0, mod. q", 

 aber 



*(roj "-^'FCw) nicht = 0, mod. q"*' , 

 so soll von ihr ausgesagt werden, dafs sie den idealen Primfak- 

 tor des q, welcher zur Substitution ir, , = u gehört, genau 

 m mal enthält. 



Da die Anzahl der verschiedenen complexen Zahlen ^(cd, ), für die 

 verschiedenen Werlhe des r, und darum auch die Anzahl der verschiedenen 

 Substitutionen w^. = £/, , wie oben gezeigt worden, gleich v ist, so folgt: 



Die Anzahl der verschiedenen idealen Primfaktoren der 

 nichtcomplexen Primzahl q , welche zum Exponenten t gehört 

 f ü r den Modul n, ist gleich * " = v. 



Von den hier defmirten idealen Priinfaktoren des q ist nun nachzu- 

 weisen, dafs sie alle wesentlichen Eigenschaften wahrhafter Primfaktoren be- 

 sitzen, zu welchem Zwecke zunächst folgender Satz bewiesen werden soll : 



Wenn zwei oder mehrere complexe Zahlen einen idealen 

 Primfaklor des q nicht enthalten, so enthält das entwickelte 

 Produkt derselben diesen idealen Primfaktor eben fa 11s nicht. 



Es seien /"(w) und /*, {w) zwei complexe Zahlen, deren keine den zur 

 Substitution ro^ , = u^ gehörenden idealen Primfaktor des (/ enthalte, so ist 

 nach der Definition 



^FK)/(c.) nicht = 0, 

 * {^r ) /, (w) nicht = 0, '"°'^- '/• 

 Weil nun diese beiden complexen Ausdrücke nicht durch q theilbar sind, so 

 ist auch keine Potenz derselben durch q theilbar; erhebt man dieselben da- 

 her zur Potenz des Exponenten i -+- y + r/* -t- . . . -l- r/' ~' und bemerkt, 

 dafs allgemein 

 F(w) »-*- 'i' + 9 -»-•••• + '/'-■ ^ ^^^^ ^^^,^ p^y^ _ _ p^J - ' ^^ ^^^j ^^ 



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