20 Kummer: 



ist, so hat man, wenn der Kürze wegen i + (j -h <]^ . . . + g' ~ ' = Q ge- 

 setzt wird : 



*(=^J^y^'^)/('^')/(<^'') . . 'A'^"' " ' ) nicht = 0. 



mod. q. 



Setzt man nun : 



/.w /.(-')/. ('-M---/.('^''"')=^.K)> 



welche Bezeichnungen als nur die Perioden enthaltende complexe Zahlen 

 ihnen wirklich zukommen, weil sie als symmetrische Funktionen aller in 



einer Periode vorkommenden Wurzeln w, w , . . . . w nur die Perioden, 

 nicht aber ausfer diesen die Wurzel w enthalten können, wo die Perioden in 

 dem Sinne aufzufassen sind, welcher denselben am Schlüsse des vorigen Pa- 

 ragraphen gegeben worden ist, nämlich befreit von den sie etwa behaftenden 

 ganzzahligen Faktoren : so hat man 



1'(ro ) V(cj,) nicht = 0, 



n mod. q. 



■^{w^) F,(w,) nicht = 0, 



Hieraus folgt weiter, dafs auch die durch die Substitution er, , = m, aus 

 F {w ^) und F ^ {w ,) entstehenden nichtcomplexen ganzen Zahlen F{u^) und 

 jp, (Wj) nicht durch q theilbar sind, also auch nicht das Produkt derselben 

 F{u^). F, (Mj). Multiplicirt man dieses Produkt noch mit '^{^, ) und sub- 

 stituirt rückwärts die Perioden für die Congruenzwurzeln, nach der Sub- 

 stitution tz>, . = u. , so hat man 



*(ro ) F(ro,) F, (w,) nicht = 0, mod. q. 

 und daher auch 



*K ) • /('") • /i i'^) nicht = 0, mod. q. 

 weil dieser Ausdruck nur ein Theiler des vorigen ist. Das Produkt der 

 beiden complexen Zahlen /*(») und f, (w) enthält also den zur Substitution 

 w^ . = M, gehörenden idealen Primfaktor des q nicht. Da nun der Satz für 

 ein Produkt von zwei Faktoren bewiesen ist, so folgt unmittelbar, dafs er 

 auch für ein Pi-odukt beliebig vieler Faktoren ebenso gelten mufs. 



Dieser Satz dient nun zum Beweise des folgenden allgemeineren : 

 Das entwickelte Produkt zweier oder mehrerer complexer 



