Tur Theorie der complexen Zahlen. 21 



Zahlen enthält genau dieselben idealen Prim Faktoren des^, und 

 jeden genau eben so oft, als die Faktoren zusammengenommen. 

 Es enthalte y(w) den zur Substitution w^ . = u. gehörenden idealen 

 Primfaktor des q genau m mal, J^, (w) enthalte denselben genau m' mal, so 

 ist nach der Definition 



*(ro )"■ f{w) = 0, mod. 7" 



*Kr'/.H = 0, mod. 7-'; 

 setzt man demnach 



so ist 



n^. r" f{^) /. i'^) = 9-^"'' Pi^) p, ('^) ; 



weil ferner f(w) den zur Substitution ro, ^ = ", gehörenden idealen Prim- 

 faktor des q nicht mehr als m mal, /^ (oo) denselben nicht mehr als m mal 

 enthält, so folgt, dafs P{w) und P, (w) diesen idealen Primfaktor nicht ent- 

 halten, also vermöge des vorhergehenden Satzes, dafs das Produkt P{u.) 

 P, (w) denselben auch nicht enthält, also '^{^,) P(w) P,{uo) nicht ^ ist 

 mod. q. Darum ist 



^K )"""'/("') /. C'^) = 0. «iod. y—, 

 aber 



^(sa, )"^-* /{w) /, (w) nicht = 0, mod. 7"--'-', 



d. h. das Produkt y(co) y, (to) enthält diesen idealen Primfaktor genau m+ni 

 mal. Was nun für diesen einen idealen Primfaktor bewiesen ist, gilt offen- 

 bar ebenso für alle idealen Primfaktoren der nicht in der Zahl n enthaltenen 

 Primzahlen, ebenso versteht sich von selbst, dafs der Satz auch für ein Pro- 

 dukt beliebig vieler Faktoren giltig bleibt. 



Wenn eine complexe Zahl alle verschiedenen idealen 

 Primfaktoren des q enthält, und zwar jeden mindestens in mal, 

 so ist sie durch q" theilbar. Enthält sie jeden der verschiede- 

 nen idealen Primfaktoren des q genau?« mal, so erschöpft q" 

 alle in ihr enthaltenen idealen Primfaktoren des q. 



Die Bedingung, dafs F{u}) alle idealen Primfaktoren des q enthält, 

 und zwar jeden mindestens m mal, wird durch folgende Gleichungen aus- 

 gedrückt : 



