Zur Theorie der compleccen Zahlen. 23 



V = ^ 1^ ■, jeder mt mal. Die Norm ist daher, vermöge des vorhergehenden 

 Satzes, theilbar durch q"" , aber durch keine höhere Potenz von q. 



§• 6. 

 Es ist nun auch die besondere Art der idealen Primfaktoren, welche 

 den in der zusammengesetzten Zahl n enthaltenen Primzahlen angehören, in 

 ähnlicher Weise zu behandeln. Sei p eine Primzahl, Faktor von n, und 

 zwar a mal in n enthalten, so dafs n = p" ri. und n nicht weiter durch ;y theil- 

 bar ist, sei ferner w = zw', wo z eine primitive Wurzel der Gleichung 



z'' =1, w' eine primitive Wurzel der Gleichung ui' = i bezeichnet. Die 

 Primzahl p gehöre zum Exponenten ©, für den Modul n, so dafs p'^ ^ \, 

 mod. n , dals aber keine niedere Potenz als die des Exponenten dieser 

 Congruenz genüge. Sei auch 



I //■ ,rp ,rii iVii 



ro^=oü -\- u) u) -4-... + W 

 ebenso bezeichne '*^(ro',) dieselbe complexe Zahl für die Wurzel w' und die 

 Primzahl yy, als oben ^(ro,) für' die Wurzel w und die Primzahl q, alsdann 

 entsprechen hier ebenfalls den Perioden ir', J)estimmte Cougruenzwurzeln 

 u. , in der Art, dals die Congruenz 



^{w',) (of'. — u\ ) = 0, mod. p. 

 für alle Werthe des /= i, 2, .!,... . tt Statt hat. 



Nimmt man in einer complexen Zahl F{ui) oder F(zw) für z alle ver- 

 schiedenen prinntiven Wurzeln der Gleichung z^' = i imd bildet das Pro- 

 dukt dieser verschiedenen complexen Zahlen, so soll dasselbe die in Bezie- 

 liung auf die Wurzel z genommene partielle Norm der complexen Zahl 

 F{zw) genannt und durch N^F(zw) bezeichnet werden. Diese partielle 

 Norm, als symmetrische Funktion aller primitiven Wurzeln der Gleichung 



:^ = ', enthält die Wurzel z selbst nicht weiter in sich, und ist daher eine 

 nur die Wurzel w' enthaltende complexe Zahl. In gleicher Weise wird die 

 in Beziehung auf die Wurzel w' genommene partielle Norm, welche durch 

 JVj F(zw) bezeichnet werden soll, das Produkt aller derjenigen complexen 

 Zahlen vorstellen, welche man erhält, indem man für ui' alle verschiedenen 

 primitiven Wurzeln der Gleichimg w'" = i setzt, und wird eine nur die 

 Wurzel z enthaltende complexe Zahl sein. Die vollständige Norm von 



