04 Kummer: 



F(zw) erhält man offenbar, indem man von der in Beziehung auf die Wur- 

 zel z genommenen Norm noch in Beziehung auf die Wurzel w' die Norm 

 nimmt, oder auch umgekehrt, indem man zuerst die partielle Norm in Be- 

 ziehung auf die Wurzel w' und von dieser die Norm in Beziehung auf z nimmt, 

 welches folgendermaafsen dargestellt werden kann : 



NF(züi) = ZV: N F(zw) = iV, N: F(zw). 

 Die Primzahl p läfst sich immer in wirkliche complexe Faktoren von 

 der Formy*(z) zerlegen, denn man hat bekanntermaafsen : 



p = n, (1 -r.'), 

 wo das Produkt IT, über alle gauzzahligen Werthe des h zu erstrecken ist, 

 welche kleiner als p° und relative Primzahlen zu p sind, so dafs dieses Pro- 

 dukt aus p°~' (p— i) Faktoren besteht. 



W^eil ferner 



,_z' = (, _ ^) (, 4- r. H- s^ -t- +z'-') 



und 1 -t- 5 -f- r;" + . , . + z' ~' , wenn /i nicht durch p theilbar ist, nur eine 

 complexe Einheit darstellt, so hat man ebenfalls 



p = U-z/~' ("-'^ Eiz), 

 wo E(z) eine complexe Einheit bezeichnet. 



Eine complexe Zahl F(w), welche nur die Wurzel w' , nicht 

 aber die Wurzel z enthält, kann nicht durch i — z theilbar sein, 

 ohne dafs sie auch durch p theilbar ist. 



Ist nämlich F{w) durch i — z theilbar, so ist nothwendig die p°~' 



(^p _ i) te Potenz derselben durch (i — zf (p — ^\ also auch durch p 

 theilbar. Da aber oben §. 2. bewiesen worden, dafs eine Potenz einer com- 

 plexen Zahl der Wurzel w der Gleichung w" = i durch eine nicht in n ent- 

 haltene Primzahl q nicht theilbar sein kann, ohne dafs diese complexe Zahl 

 selbst durch (j theilbar ist, so folgt für den gegenwärtigen Fall, dafs eine 



Potenz der complexen Zahl F(w') der Wurzel w' der Gleichung w" = i durch 

 die nicht in n enthaltene Primzahl p nicht theilbar sein kann, ohne dafs 

 F{w) selbst durch p theilbar ist. Aus F{w) ^ 0, mod. (i — z), folgt daher 

 nothwendigerweise F{u)) ^ 0, mod. p. 



Wenn die complexe Zahl F{zw) durch i — z theilbar ist, so ist offen- 

 bar die in Beziehung auf z genommene partielle Norm derselben durch p 

 theilbar, weil N^ (i — z) =. p ist. Die Umkehrung dieses Satzes, nämlich 



