TjUt Theorie der complexen Zahlen. 25 



Wenn die in Beziehung aufz genommene partielle Norm 

 einer complexen Zahl F{zu>) durch p theilbar ist, so ist F{zu)) 

 selbst durch i — z theilbar, 



wird folgendermaafsen bewiesen. Jede complexe Zahl F{zu!) genügt, weil 

 z ■= \ — {\ — z) ist, der Congruenz 



F{zui) = F{u>), mod. (i — z), 

 und hieraus, wenn auf beiden Seiten die Norm in Beziehung auf z genommen 

 wird, folgt: 



iV, F{zw) = F{w/~' (P-'^\ mod. (i - z), 

 also, weil nach der Voraussetzung des Satzes N^ F{zw) durch p, und darum 

 auch durch i — z theilbar ist : 



F{u>f" ' ^ - '> = 0, mod. (1 - c), 

 woraus nach der Ausführung im vorigen Satze folgt, dafs F{w) ^ 0, mod. p, 

 also auch mod. (i — z), und darum endlich F{zw) ^ 0, mod. (i — z). 



Da die Primzahl p, abgesehen von einer Einheit, einer Potenz von 

 1 — z gleich ist, so werden sämmtliche ideale Primfaktoren des p zugleich 

 als ideale Primfaktoren des i — z angesehen werden können. Dieselben 

 sollen nun folgendermaafsen definirt werden : 



Wenn p eine in n enthaltene Primzahl ist und a, n, z, w', 

 ai\, u. , ^(ro',) die angegebenen Bedeutungen haben, so soll von 

 einer complexen Zahl F{zw'), welche die Eigenschaft hat, dafs 

 *« ) F(ztJ) = 0, mod. (t — 2), 



ausgesagt werden: sie enthält einen idealen Primfaktor des p, 

 und zwar denj enigen, welcher zur Substitution ro'^,. = w',. gehört. 

 Hat die complexe Zahl F(zi/j) aufserdem die Eigenschaft, dafs 



^« )'F{zw) = 0, mod. (i — z)", 

 aber 



*(ro;) 'F{zw) nicht = 0, mod. (i — z)"*', 

 wo 



kp'-' (p _ i) > IX, 



so soll von dieser complexen Zahl ausgesagt werden, dafs sie 

 den zur Substitution ro'^ , = «', gehörenden idealen Primfaktor 

 des p genau ju mal enthält. 



Math. Kl. 1856. D 



