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Die Anzahl aller verschiedenen idealen Primfalctoren des p, für com- 

 plexe Zahlen der Wurzel w = cuj ist hiernach gleich der Anzahl aller ver- 

 schiedenen Substitutionen von der Form ra', , = u, , oder was dasselbe ist 

 gleich der Anzahl aller verschiedenen complexen Zahlen 4^(57'); sie ist also 

 nach dem vras oben (§. 4.) für die Anzahl der verschiedenen complexen 

 Zahlen 'V(w^ ) gezeigt worden ist, hier, wo p zum Exponenten gehört für 



den Modul n, gleich ^^^l 



Die Bedingung, dafs die complexe Zahl F(zw) den zur Substitution 

 w\ . = u gehörenden idealen Primfaktor des p genau \j. mal enthalte, kann 

 offenbaar auch folgendermaafsen in Form einer Gleichung dargestellt werden : 



wo %(z w) nicht weiter durch i — z theilbar ist und hp°~ * (p — x > \x, Nimmt 

 man nun auf beiden Seiten die Norm in Beziehung auf z, so erhält man 



■V{üj\ /^°" ' (^ - JV"^ p(^zw) = p' TV, %(zw), 

 und weil %{zw) nicht durch 1 — z theilbar ist, so ist auch iV, %(2'«J) nicht 

 durch p theilbar. Hieraus folgt der Satz: 



Die complexe Zahl F(zw) enthält den zur Substitution 

 w\ ^ = m',. gehörenden idealen Primfaktor desp, für complexe 

 Zahlen der Wurzel w = zw' genau eben so oft, als N^ F(zw) den 

 zur Substitution od',, =m gehörenden idealen Primfaktor des 

 p für complexe Zahlen der Wurzel et' enthält. 



Weil N^ F{z'' w) = N^ F{zu)), wenn h nicht durch p theilbar ist, so 

 folgt hieraus unmittelbar der Satz : 



Die in der complexen Zahl F(zw) enthaltenen idealen Prim- 

 faktoren Aes p bleiben für alle verschiedenen primitiven Wur- 

 zeln der Gleichung z'' z= 1, welche man für z nehmen mag, stets 

 dieselben. 



Ferner gilt auch für die idealen Primfaktoren des p der Satz : 



Das Produkt zweier oder mehrerer complexer Zahlen der 

 Wurzel w z= zw enthält genau dieselben idealen Primfaktoren 

 desp als alle Faktoren zusammengenommen; 

 hat man nämlich 



F(zw) = f{zw) ./, {zw) . /i(zw) . . . 



