Xur Theorie der complexen Zahlen. 27 



so ist auch 



N^ F(zw) = iV, f{zw) . N^ /, (zui) . N^f,(zw) 



Für die in dieser Gleichung enthaltenen Normen in Beziehung auf z, welche 

 nur w' enthaltende coraplexe Zahlen sind, gilt aber in Betreff der idealen 

 Primfaktoren der in dem Wurzelexponenten n nicht enthaltenen Primzahl p 

 der in dem vorigen Paragraphen bewiesene Satz : dafs die idealen Primfakto- 

 ren des Produktes dieselben sind, als die der einzelnen Faktoren zusammen- 

 genommen, woraus vermöge des Satzes, welcher zeigt wie die idealen Prim- 

 faktoren des/j, welche in F{zw) enthalten sind, mit den in N^F{zw) ent- 

 haltenen übereinstimmen, die Richtigkeit des aufgestellten Satzes erhellt. 



Wenn eine complexe Zahl F{zü.) alle verschiedenen idea- 

 len Primfaktoren des p enthält, und zwar jeden mindestens fx 

 mal, so ist sie durch (i — z)" theilbar. 

 Nach der Voraussetzimg dieses Satzes fmdet die Congruenz 



^(ro, ) 'Fizü^) = 0, mod. (i — z)% 

 statt, für alle Werthe des r, welche verschiedene conjugirte complexe Zah- 

 len '^{w\) ergeben. Bezeichnet man nun die Summe der /cten Potenzen 

 dieser verschiedenen conjugirten complexen Zahlen durch M', so hat man 

 durch Addition dieser Congruenzen 



M'¥{zw) = Q, mod. (i - z)" 

 imd weil M' eine nichtcomplexe ganze Zahl ist, welche nicht durch p und 

 folglich auch nicht durch i — z theilbar ist, so ist: 



F{zw) = 0, mod. (i — z)", 

 wie im Satze behauptet worden. Ich bemerke noch, dafs in dem besonde- 

 rem Falle, wo |U ein Vielfaches von //"' (p — i) also jjl = cp"~' (p — i), 

 F(w) durch p' theilbar ist. 



Wenn eine complexe Zahl F{w) genau (u ideale Primfakto- 

 ren des p enthält, welche verschieden oder auch zum Theil oder 

 alle einander gleich sein können, so enthält die vollständige 

 Norm derselben den Faktor yy genau jU© mal. 

 Es ist nämlich 



NF{w) = N^.N,F{zw) 



und wenn F{züü) fj. ideale Primfaktoren des p enthält für complexe Z»hlea 

 der Wurzel w =: zw, so enthält N^F{zw) genau eben so viele ideale Prim- 

 faktoren des p für complexe Zahlen der Wurzel w; darum enthält nach dem ent- 



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