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sprechenden Satze des vorhergehenden Paragraphen NjN^F{zw) den Fak- 

 tor p genau //© mal. 



§. 7. 



Nachdem nun in den vorhergehenden beiden Paragraphen die Eigen- 

 schaften der beiden verschiedenen Arten idealer Primfaktoren, nämlich der 

 allgemeineren, welche den in dem Wurzelexponenten n nicht enthaltenen 

 mit q bezeichneten Primzahlen, und der besonderen, welche den in n ent- 

 haltenen, mit p bezeichneten Primzahlen angehören, für sich behandelt wor- 

 den sind, sollen jetzt die gefundenen Resultate zusammengefafst werden. 



Wenn die Norm einer complexen Zahl F{w) durch irgend eine der 

 Primzahlen q oder p, d. h. durch eine in dem Wurzelexponenten 72 nicht 

 enthaltene oder durch eine darin enthaltene, theilbar ist, so enthält F{w) 

 nothwendig irgend einen idealen Primfaktor dieser Primzahl; denn die ent- 

 wickelte ganzzahlige Norm, wenn sie ein Vielfaches von q oder p ist, enthält 

 alle idealen Primfaktoren des q oder p, also die conjugirten complexen Zah- 

 len zu -F(w), welche die Norm bilden, müssen ebenfalls irgend welche ideale 

 Primfaktoren des q oder p enthalten, nach dem für beide Arten der idealen 

 Primfaktoren geltenden Satze : dafs das entwickelte Produkt genau dieselben 

 idealen Primfaktoren enthält als die Faktoren zusammengenommen. Ande- 

 rerseits ist in den vorhergehenden beiden Paragraphen bewiesen worden, dafs 

 wenn eine complexe Zahl m ideale Primfaktoren des q enthält ihre Norm 

 den Faktor q"' enthalten mufs und ebenso, wenn sie |U ideale Primfaktoren 

 des p enthält, dafs ihre Norm den Faktor p'"'^ enthalten mufs. Fafst man 

 diese Resultate zusammen und bezeichnet irgend welche andere Primzahlen 

 derselben Art als q oder p durch q', q" . . . . p , p" . . . . und die Exponenten 

 zu welchen erstere für den Modul n, letztere für den Modul n gehören, be- 

 ziehungsweise durch t', t" . , . 0', 0" . . . so hat man den Satz : 



Die Norm einer jeden complexen Zahl F{w) ist eine Zahl 

 von der Form 



NF{o^) =p^^ . p'"'^' q"' . q'"'" . 9"'""'" 



Da die Summe der Zahlen f-i -f- u '+ . . + in + m' -+■ m" + . . ., 

 welche für jede bestimmte Zahl F{'m) nur eine endliche ist, der Anzahl aller 

 in F(w) enthaltenen idealen Primfaktoren gleich ist, und da durch die gege- 

 benen Definitionen selbst unzweideutig bestimmt ist : ob und wie viel mal 



