TjUV Theorie der complexen Zahlen. 29 



eine gegebene complexe Zahl einen bestimmten idealen Primfaktor enthält, 

 so hat man den Hauptsatz : 



Jede gegebene complexe Zahl enthält nur eine endliche 

 Anzahl unveränderlich bestimmter idealer Primfaktoren. 



Wenn umgekehrt nicht die complexe Zahl selbst gegeben ist, sondern 

 nur alle idealen Primfaktoren, welche sie enthält, so ist sie dadurch noch 

 nicht vollständig bestimmt, weil die complexen Einheiten, mit welchen 

 sie multiplicirt sein kann, dabei unbestimmt bleiben. Es seien F{w) und 

 F^ (w) zwei complexe Zahlen, welche beide genau dieselben idealen Prim- 

 faktoren enthalten sollen, so ist für dieselben 



NF{w) = NF,{<ji). 

 Setzt man nun 



NF(m) 



*H, 



SO ist 



Wenn nun F{w) so wie 7^, (w) fx ideale Primfaktoren des p, fx' ideale Prini- 

 faktoren desyy , m ideale Primfaktoren des </, tu' des </', u. s. w. enthält, so ist 



NF(w) = NF, (w) =p'"' . p'^""' ... q-- . (j'""" (/"-■■'" .... 

 also 



/■(.o - p^'^.f,'^'^'...r'T^' .... 



Da nun F, (ui) genau dieselben idealen Primfaktoren enthält als F{ujj, so ent- 

 hält auch F,(u)) *(a)) genau dieselben als F{ui) *(a;) = NF{u)). Dieses 

 Produkt enthält daher alle idealen Primfaktoren des f), jeden |u//~ ' (p — i) 

 mal und ist darum durch p"" theilbar; es enthält alle idealen Primfaktoren 

 des p', jeden fA.'p'"'~^ (p — i) mal und ist darum durch p'"''" theilbar; es 

 enthält alle idealen Primfaktoren des q, jeden ml mal, und ist darum durch 

 q" theilbar; es enthält alle idealen Primfaktoren des </', jeden /«7' mal, imd 

 ist darum durch q""'" theilbar u. s. w. Das Produkt F, {w) * (w) ist darum 

 durch NF{w) theilbar, folglich 



^ = i» 



wo F(w) eine ganze complexe Zahl ist, oder 



F, (w) = £(0.) Fix) 



