30 Kummer: 



Nimmt man endlich auf beiden Seiten die Norm, so erhält man vermöge 

 iVF, (c.) = NF{uj) 



NE(w) = 1. 

 E{u.') ist also nur eine complexe Einheit. Diefs giebt den Satz: 



Zwei complexe Zahlen, welche genau dieselben idealen 

 Primfaktoren enthalten, unterscheiden sich nur durch com- 

 plexe Einheiten, mit welchen sie miiltiplicirt sein können. 



Wenn die complexe Zahl F, (w) alle idealen Primfaktoren des F{u)) 

 enthält, aber aufser diesen vielleicht noch andere, so gelten alle Schlüsse 

 für den Beweis des vorhergehenden Satzes bis dahin, dafs '^'' einer gan- 

 zen complexen Zahl gleich sein mufs; da aber in diesem Falle NF, (w) nicht 

 gleich NF(w) ist, so ist dieser Quotient nicht eine complexe Einheit, son- 

 dern er enthält genau alle idealen Primfaktoren, welche F, (w) mehr enthält 

 als F(u)). Man hat also den Satz : 



Eine complexe Zahl ist durch eine andere theilbar, wenn 

 alle idealen Primfaktoren des Divisors auch im Dividendus 

 enthalten sind. D er Quotient enthält alsdann genau den Uber- 

 schuss der idealen Primfaktoren des Dividend us über die des 

 Divisors. 



Wenn es eine wirkliche complexe Zahl /"(w) giebt, von der Art, dafs 

 sie nur einen einzigen idealen Primfaktor und zwar nur einmal enthält, wenn 

 ferner F{w) irgend eine complexe Zahl ist, welche denselben idealen Prim- 

 faktor enthält: so ist nach dem soeben bewiesenen Satze F{oü) theilbar durch 

 f{w), und wenn der Quotient durch Q(w) bezeichnet wird, so ist 



F{w) =f{w) . Q{w) . 

 f{w) ist aber in diesem Falle nicht mehr ein idealer, sondern ein wirklicher 

 complexer Primfaktor. Hieraus folgt : 



Die durch die gegebenen Definitionen bestimmten idea- 

 len Primfaktoren der nich tcomplexen Primzahlen stimmen 

 überall wo es wirkliche co mplexe Primzahlen giebt mit diesen 

 vollkommen übe rein. 



Die idealen Primfaktoren, für welche, wie in dem Vorhergehenden 

 gezeigt worden ist, die Recbnungsregeln genau dieselben sind als für gewöhn- 

 liche Primzahlen, da das Produkt mehrerer Faktoren genau dieselben enthält 



