Zur Theorie der complexen Zahlen. 31 



als die Faktoren zusammengenommen, und da jede gegebene complexe Zahl 

 eine endliche unveränderlich bestimmte Anzahl solcher idealer Primfaktoren 

 enthält, welche auch in allen Fällen, wo es wirkliche complexe Primfaktoren 

 giebt, mit diesen vollkommen übereinstimmen, besitzen somit alle wesent- 

 lichen Eigenschaften wahrhafter Primfaktoren. 



§• 8. 



Für die Klassifikation der idealen complexen Zahlen, welche in dem 

 Folgenden gegeben werden soll, ist es von Wichtigkeit die Congruenzbedin- 

 gungen, durch welche die idealen Primfaktoren bestimmt werden, etwas 

 genauer zu untersuchen. Eine Congruenz unter complexen Zahlen der 

 Wurzel w, deren Modul eine nichtcomplexe ganze Zahl ist, ist wie oben 

 (§. 1.) gezeigt worden mit (/>(«) Congruenzen unter nichtcomplexen ganzen 

 Zahlen für denselben Modul gleichbedeutend, welche in besonderen Fällen 

 sich auch auf eine geringere Anzahl reduciren können. 



Einen solchen besonderen Fall gewährt die Congruenz 

 ^(tTjJ "'F{w) = 0, mod. 9", 

 welche ausdrückt, dafs die complexe Zahl F(u}) den zur Substitution cc, =m 

 gehörenden idealen Prirafaktor des (j m mal enthält; die Anzahl der noth- 

 wendigen Congruenzbedingungen unter den Coefficienten von F{u)), welche 

 mit dieser einen für complexe Zahlen gleichbedeutend sind, reducirt sich 

 nämlich immer auf t. Um diefs zu zeigen, betrachte ich die Gleichung, des 



Grades /, deren Wurzeln die in der Periode ro, enthaltenen Wurzeln u-, 'J' , 

 m' , . . . . 'J' sind, welche ich folgendermaafsen darstelle, 



^ + P, w' - ■ -H P^u,' - ^ + + P, = 0. 



Die Coefficienten dieser Gleichung, P,, Pj, . . . P, , als symmetrische 

 Funktionen aller in einer Periotle enthaltenen Wurzeln können offenbaar 

 nur Funktionen der Perioden ro,, ro^ . . . . ro, sein. Ist nun F(w) irgend 

 eine complexe Zahl, so hat man 



F(w) = a -h a, w + o, W-' + . . . . -4- a^,„,_ , w'^'"'- ' 

 und man kann nun vermittelst der Gleichung des Grades/ alle Potenzen von », 

 welche höher sind als die (/ — i) te eliminiren und dadurch jede complexe 

 Zahl F{yi) in die Form setzen : 



F(w) = *(ro,) + *, (roj w -f- *j (er,) a" •+-.... -f- <!>, _ , (er,) w" ', 



