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in welcher * (c,), ^,(^,) • • • • *, _ i (t^i) J^^^ ^i^ Perioden enthalten und in 

 Beziehung auf die Coefficientcn a, a,, a^ . . . . der complexen Zahl F(w) 

 lineare Funktionen sind. Hieraus folgt zunächst, dafs wenn 



■^(rr^ )" *, (w,) = 0, mod. 7"", 

 für alle Werthe k = 0, i, 2, . . . . t — \, auch 



*'(5', )"■ F{w) = 0, mod. <7" 

 ist. Um nun zu beweisen, dafs auch umgekehrt aus dieser einen Congruenz- 

 bedingung nothwendig jene t Congruenzen folgen, verwandle ich in dem 



2 t — I 



Ausdrucke des F(w) nach einander w in w'^, w' . . . . w'' , wobei die Pe- 

 rioden t3j,, cD^ . . . . ro„ alle ungeändert bleiben. Es entsteht so folgendes 

 System von t Gleichungen : 



F(w) = *(ro,) + w *, (ro,) + w^ *„(ro,) + .... + u - ' *,_,(ro,) 



F(w') = *(ro,) + W' *,(ro,) + W'' *2(a7,) + .... + w"-'" *,_, (tTJ,) 

 F(C<;^ ) = $(ro,) + U)' *^,(J7J,) + ü)^' *,(C!J,) + .... + 



Betrachtet man ^(tJü,), *,(!^,) • • • • *, _, C^',) als die Unbekannten dieses 

 Systems und löst dasselbe auf, so erhält man allgemein: 



D{w) $, (w,) = AF{w) + A, F(u>') + A.Fiw''') + . . . + i, _ , F{J " '), 



wo die Determinante -D(ü)) nach bekannten Regeln der Algebra gleich dem 



Produkte aller Faktoren von der Form w'' — w'' ist, für r = 0, i, 2, . . . . 



t — i, s = 0, 1, 2, . . . l — 1, mit Ausschlufs der Werthe r = s, und wo A, 

 i t 



A^ .... A, _, complexe ganze Zahlen der Wurzel w sind. Wenn nun 



*(roj'" F{w) = 0, mod. (f", 



so ist auch allgemein 



*(t7jj" Fi'jo'' ) = 0, mod. 9"", 

 für alle Werthe A = 0, i, 2, . . . / — 1, und darum vermöge der gefundenen 

 Gleichung : 



D{u)) . '^{po,y . ^^(i;},) = 0, mod. q", 

 für alle Werthe des A: = 0, 1, 2, . . . / — 1. Multiplicirt man diese Con- 

 gruenz noch mit allen zu -D(oü) conjugirten complexen Zahlen so hat man 



