Tut Theorie der complexen Zahlen. 33 



NTJ{uj) . ^'{w^y *^(ro,) = 0, mod. cf . 

 Die Norm ND{w), welche eine nichtcomplexe ganze Zahl ist, enthält, wie 

 leicht zu zeigen ist, niemals den Faktor q; da nämlich D(u)) nur aus Faktoren 



von der Form w' — w'' zusammengesetzt ist, so kann ZV/) (et) keine anderen 

 Primfaktoren enthalten als solche, welche in n vorkommen, also niemals den 

 Primfaktor (j. Es kann daher ND(w) aus dieser Congruenz hinweggehoben 

 werden, welche alsdann zeigt, dafs wenn 



■^{w, )"■ F(u)) ^ 0, mod. q", 

 nothwendig auch 



*(!^J"' *.(3-.) =0, mod. 7", 

 ist, für jeden der Werthe A- = o, i, 2, . . . / — i. Da ferner, wie oben (§. 4.) 



gezeigt worden, bei Anwendung der Substitution ro^, ^ u diese Congrueu- 

 zen gleichbedeutend sind mit 



^i (Uj) ^ 0, mod. </"", 

 für Ä' = 0, 1, 2, . . . / — 1, wo r^ ^ I, mod. n, so hat man folgenden Satz: 

 Die Bedingung, dafs die complexe Zahl F(u)) den zur 

 Substitution ro, , := u, gehörenden idealen Primfaktor des q vi 

 mal enthalte, oder was dasselbe ist die Congruenz 



*(c!T, )" F{w) = 0, mod. 7", 

 ist gleichbedeutend mit den / Congruenzen 



^(u^) = 0, *,(«,) =0, *,_,(«,) = 0, mod. «7", 



welche man erhält wenn man F{u)) in die Form 



F{w) = $(37,) + w *, (ro,) -j- w^ *2 (^i) + • • • + '^' ~ ' *, _ , (^,) 

 setzt, und in diesen Coefficienten der einzelnen Potenzen 



von 60 die Perioden durch die Congruenzwurzeln w, ersetzt, 

 welche ihnen für den Modul q" entsprechen. 



Es sind also / Congruenzen, welche in Beziehung auf die Coefficienten 

 einer complexen Zahl F{w) nur linear sind, für den Modul q", nothwendig 

 und hinreichend, damit F^w) einen idealen Primfaktor des q m mal enthalte. 

 In ähnlicher Weise sollen nun auch für die besondere Art der idealen 

 Primfaktoren, welche den in n enthaltenen Primzahlen angehören die Con- 

 gruenzbedingungen entwickelt werden. 



Math. Kl. 1856. E 



