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Ordnet man die complexe Zahl F(zw) nach Potenzen von z allein, 

 so kann man sie in folgende Form setzen : 



F{zw) = A{w) + ^,(w) z-i- Ajw) z' + + A^^_,{w)z'--' , 



wo der Kürze wegen ^(//) = z^»"" ' (/j — i) einfach durch <p bezeichnet ist, 

 alle höheren Potenzen von z können nämlich vermittelst der Gleichung 



/'~ ' (/* — ^ /" ' (/' — 2) ^ /"" ' (/' - ^ _ ^ _^ 1 ^ 



eliminirt werden. Setzt man ferner i — {i — z) statt z und ordnet nach 

 Potenzen von i — z, so erhält man 



F{zw) = /J(w) + B,{x) (i — z) + B,iM) (i — zy- + . . . . + 



B^_,{w)(i-zy-' 

 Die Bedingung, dafs F(zuj) den zur Substitution üj\ . = u\ gehören- 

 den idealen Primfaktor des p y. mal enthalte, nämlich 



^{uj'^y F{z(^) = 0, mod. (1 — zy, 

 wo k(p >■ \x, giebt daher, wenn der Kürze wegen 



gesetzt wird : 



C+C, (1 -z) + C, {\-zy + + C^_, {^-zf-\iaoA,{\-zy. 



Hieraus folgt zunächst, dafs C durch i — z theilbar sein mufs, welches, weil 

 C nur die Wurzel w', nicht aber z enthält, nicht anders geschehen kann, als 

 dafs C durch p theilbar ist, also den Faktor i — z (p mal enthält. Hebt man 

 nun aus dieser Congruenz und dem Modul den Faktor i — z einmal hinweg, 

 so sieht man ferner, dafs auch C, durch i — z und also durch p theilbar sein 

 mufs u. s. w. Ist nun jJ-'Scp, so müssen, wie auf diese Weise gezeigt wird, 

 die ersten fx Coefficienten C, C,, C^, ... C^^_^ durch p theilbar sein, 

 und wenn dieselben durch j) theilbar sind so ist auch dieser Congruenz 

 genügt. Ist aber \x z> <p, so müssen zunächst alle Coefficienten C, C, , 

 ... C^_, durch p theilbar sein, man kann daher diesen gemeinschaft- 

 lichen Faktor p, oder was dasselbe ist (i — z)'^, aus der Congruenz imd 

 dem Modul hinwegheben und erhält so eine Gleichung derselben Form, 

 für den Modul (i — s) ""''', auf welche man dieselben Schlüsse von 

 Neuem anwenden kann. Ist in dieser ß < 2(p so müssen die ersten 

 \x — (p Coefficienten nochmals durch p theilbar sein, also C, C,, ... 

 C^_^_t theilbar durch p'^, und C^_^, C^_^^ ,, . . . C^_ , theilbar durch 

 p. Fährt man, wenn fj, > 2(p ist, in derselben Weise fort zu schliefsen, so 

 sieht man leicht, dafs allgemein wenn ja in den Grenzen C(p und (c + i) (p 



