Z«/" Theoj-ic der complcxcn Zahlen. 35 



liegt, also y. zrz ccp -\- jj.^ ist, vto fx^ < <p, die ersten /^, Coefficienten C, C , 

 . . . C , durch // ^ ' , die übrigen aber C , C . . . . C durch 



W, — f f^, f^, -(- 1 (p— 1 



// theilbar sein müssen, damit dieser Congrueuz genügt werde. Dafs aber 

 umgekehrt, wenn diese Bedingungen erfüllt sind dieser Congruenz wirklich 

 genügt wird, ist von selbst klar, da p den Faktor i — z </> mal enthält. Be- 

 trachtet man noch, dafs die Bedingung C^ = 0, raod. j/ nichts anderes aus- 

 drückt, als dafs ß^ (üJ) den zur Substitution sj', . = ?/ gehörenden idealen 

 Primfaktor des p, für coiuplexe Zahlen der Wurzel w', k mal enthält, so 

 hat man folgendes Resultat. 



Die Bedingung, dafs die complexe Zahl jF(zw) den zur 

 Substitution ro',, = m', gehörenden idealen Primfaktor des p, 

 für complexe Zahlen der Wurzel w:=zu:', fj. mal enthalte, wo 

 a = 6-0 -I- a,, w, < </), (p=zp"~'(p — i), ist gleichbed eutend damit, 

 dafs von den complexen Zahlen 



B(w), H,{w),B,{w) ß,,_,(c^'), 



welche man erhält indem man F{z'm) in die Form 

 F{zw) = /i(oJ) -^ ß, {w){i-z) -^- ß, (w){i- zy + ... +ß„_ , (i^) (i-zf- ' 

 setzt,dicersten/^, den zur Substitution !77', ,=•«'. gehörenden idea- 

 lenPri mfaktord es ^ für complexeZahlender Wurzel tu, c-l-i mal. 

 die übrigen (/) — jj.^ aber denselben idealen Primfakto r c mal ent- 

 halten. 



Die Bedingung, dafs ß, (cJ) einen bestimmten idealen Primfaktor des f) 

 c + 1 mal oder c mal enthalte kann aber, wie oben gezeigt worden, da die 

 Primzahl p in dem Wurzelexponenten ri der Wurzel cd' nicht enthalten ist, und 

 p zum Exponenten gehört, mod. n, durch Congruenzen für den Modul 

 p' ^ ' oder p' ausgedrückt werden, welche in Beziehimg auf die ganzzahligen 

 Coefficienten der complexen Zahl Ji^{w) nur linear sind. Da nun ßjct) 

 die Coefficienten der ursprünglich gegebenen complexen Zahl F{zu)) nur in 

 linearer W^eise enthält, so schliefst man : 



Die Bedingung, dafs die complexe Zahl F{zw) einen be- 

 stimmten idea le n Prim faktord es p)u mal enthält, wird, wenn)w = c 

 <p + !J-, ist und |w, <c/), (^ =p"~ ' (p — i), durch |U,0 lineare Congruenzen 

 fürdenModul/>'^',und durch((/) — /^,)0 lineäreCongruenzen für 

 den Modul p' , unter den Coefficienten der complexen Zahl 



F{zw), ausgedrückt. 



Ei 



