36 Kumme u : 



§. 9. 



Es sollen nun die idealen Primfaktoren und die aus denselben zusam- 

 mengesetzten oder zusammenzusetzenden idealen complexen Zahlen auf die- 

 selbe Weise bezeichnet werden als die wirklichen, so dafs /(w) oder F{u)) 

 in dem Folgenden complexe Zahlen bezeichnen sollen, welche gewisse gege- 

 bene ideale Primfaktoren enthalten, abgesehen davon, ob solche complexe 

 Zahlen wirklich existiren oder nicht. Die Aufgabe, eine wirkliche complexe 

 Zahl zu finden, welche gewisse gegebene ideale Primfaktoren enthält, aber 

 nur diese allein, ist nämlich im Allgemeinen nicht lösbar, wenn man aber 

 zuläfst, dafs dieselbe aufser diesen gegebenen auch andere ideale Primfakto- 

 ren enthalten darf, so hat sie stets unendlich viele Lösungen. Diefs kann 

 auch so ausgesprochen werden: es giebt für jede ideale complexe Zahl 

 F{(ji>) eine tmendliche Anzahl verschiedener idealer Multiplikatoren F, (w) 

 von der Art, dafs das Produkt F{w) F, (w) eine wirkliche complexe Zahl 

 wird. Wählt man diese idealen Multiplikatoren so aus, dafs die Normen 

 derselben, welche stets wirkliche nichtcomplexe Zahlen sind, möglichst klein 

 werden, so findet man, dafs eine endliche bestimmte Anzahl idea- 

 ler Multiplikatoren hinreichend ist um alle idealen complexen 

 Zahlen zu wirklichen zu machen. 



Um diesen Hauptpunkt der Theorie der hier behandelten complexen 

 Zahlen zu beweisen, stelle ich die ideale complexe Zahl F{cjü) als Produkt 

 der in ihr enthaltenen idealen Primfaktoren dar, nämlich 



Fiw) = ^(wy . cp'iwy . . . fi^r . /'(c.)"' . f"(wr" 



wo (p(w) ein bestimmter idealer Primfaktor der in n enthaltenen Primzahl p 

 ist, welche für den Modul n' zum Exponenten gehört, (!>' (w) ein idealer 

 Primfaktor, der ebenfalls in n enthaltenen Primzahl p', welche zum Expo- 

 nenten 0' gehört u. s. w., ferner /(w) ein idealer Primfaktor, der nicht in 

 // enthaltenen, zum Exponenten t gehörenden Primzahl (f, fif^) Primfaktor 

 von q' , welche zum Exponenten t' gehört, u. s. w. Ferner sei 



<I)(w) = j: -1- o:, w + x.,<ji^ -\- + •3^<p(„i_ I w''''"'~ ' 



eine wirkliche complexe Zahl, welche alle idealen Primfaktoren des F{'x) 

 und somit diese ideale complexe Zahl selbst als Faktor enthält, so dafs 

 A^{'jö) = F{w) F,(x), 



