Xur Theorie der compleaen Zahlen. 39 



Ziehung auf alle Wurzeln der Gleichung w" = i, (nicht in Beziehung auf die 

 primitiven allein,) so erhält man ohne Schwierigkeit 



Da nun alle Glieder von der Form #(»*) *(w~'') nur positiv sein können, 

 so ist klar, dafs wenn man die Summe nur auf alle primitiven Wurzeln w er- 

 streckt, diese kleiner sein mufs als diejenige, welche sich auf alle Wurzeln 

 der Gleichung ou° = i erstreckt, man hat daher 



2*(cd) *(c.-') <cn{x' +x]+ccl + + -x-^.M-.). 



wo die Summe S nur auf alle primitiven Wurzeln w zu beziehen ist. 

 Wendet man nun den bekannten Satz an, dafs das Produkt von m positiven 

 Gröfsen immer kleiner ist als die ?Hte Potenz des arithmetischen Mittels der- 

 selben, und bemerkt, dals das Produkt der (p (n) Gröfsen von der Form 

 ^(w) *(w~ ') gleich dem Quadrate der Norm N^{w) ist, so hat man 



Nimmt man nun für alle Coefficienten x, .r,, x^, . . . die gröfsten Werthe, 

 welche sie überhaupt haben können, nämlich k — i, und zieht auf beiden 

 Seiten die Quadratwurzel aus, so hat man 



Ni-iw) < ni^'"' . {k — if ">. 

 Die Zahl k ist nach der \ oraussetzung so grofs zu wählen, dafs 



wodurch ihre untere Gränze bestimmt wird ; bestimmt man aufserdem die 

 obere Gränze dadurch, dafs 



(/c_ if'° '< NF(w) 

 sein soll, so ist 



iV*(tt))<ni'^'°' . ]VF(üü) 

 und weil *(w) = F(w) F, (w), also iV4>(w) = NF(u)) NF, (w), so ist endlich 



NF,(u)) <rtl^'"»-, 

 d. h. die idealen Multiplikatoren, welche mit einer gegebenen idealen com- 

 plexen Zahl zusammengesetzt, wirkliche complexe Zahlen als Produkte ge- 

 ben, können immer so gewählt werden, dafs die Normen derselben kleiner 

 sind als n2'''^"\ Dieser Bedingung aber kann offenbaar nur eine endliche 

 Anzahl ideale» Multiplikatoren genügen ; man hat daher den Satz : 



Alle idealen complexen Zahlen, deren Anzahl unendlich 

 ist, können durch Zusammensetzung mit einer endlichen 



