Zar Theorie der complejcen Zahlen. 41 



Äquivalente ideale Zahlen mit äquivalenten zusammen- 

 gesetzt, geben äquivalente Produkte. 



Sind nämlich F{w) und G{ui) zwei äquivalente ideale Zahlen, il/(w) 

 ihr gemeinschaftlicher Multiplikator, und auch F, (w) und G, (w) äquivalent 

 und M, (w) ihr gemeinschaftlicher Multiplikator, so ist offenbaar M{w) 3/, (w) 

 ein Multiplikator, welcher sowohl F(w) F, (w) als auch G (w) G, (w) zu wirk- 

 lichen complexen Zahlen macht, weshalb diese Produkte äquivalent sind. 



Fasst man diese Resultate mit dem zusammen, dafs eine endliche An- 

 zahl von Multiplikatoren hinreicht, um alle idealen Zahlen zu wirklichen zu 

 machen, so schliefst man : 



Die Klassen, in welche alle idealen Zahlen sich verthei- 

 len, sind der Zahl nach endlich und vollkommen bestimmt, 

 so dafs jede ideale Zahl nur einer bestim mten Klasse angehört. 



Ist F(w) irgend eine ideale Zahl, so können die idealen Zahlen 

 der Reihe 



F{w), F{wy-, F(w)\ Fiu.y 



welche man in's Unendliche fortsetzen kann, nicht alle verschiedenen Klassen 

 angehören, weil die Anzahl der Klassen nur eine endliche ist; es müssen also 

 irgend welche verschiedene Glieder dieser Reihe äquivalent sein, d. h. 

 F{wy äquivalent F{uiy , für gewisse verschiedene Werthe des r und *. Ist 

 nun M(u)) ein Multiplikator dieser beiden äquivalenten Zahlen, so sind 

 F{üüy M{u}) und F(My M{üi) beide wirklich, und darum ist auch der 

 Quotient derselben, nämlich F'(ü;)' ~' eine wirkliche complexe Zahl. Man 

 hat also den wichtigen Satz : 



Jede id eale Zahl wird durch Erhebung zu einer bestimm- 

 ten Potenz zu einer wirklichen. 

 Hieraus folgt ferner: 



Jede ideale Zahl läfst sich als eine Wurzel aus einer 

 wirklichen darstellen. 



Wenn h der niedrigste Exponent ist, für welchen die Potenz F(w)'' 

 zu einer wirklichen complexen Zahl wird, so gehören die h Zahlen 



. i,F(u>), F{ujy, F(wy, F(ujy-' 



wie leicht zu übersehen ist alle verschiedenen Klassen an. Diese h Klas- 

 sen können nun entweder alle vorhandenen Klassen idealer Zahlen erschöp- 

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