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feil, odci' auch nicht. Ist das letztere der Fall, so sei G{ijü) eine ideale Zahl, 

 welche keiner dieser h Klassen äquivalent ist, alsdann sind wie leicht zu 

 zeigen auch folgende /i ideale Zahlen 



G{u>), G(w)F{w), G(ui)F{ujy, G(oü)F(cüy-' 



weder unter sich noch den vorigen äquivalent. Wenn diese 2Ä Klassen nun 

 noch nicht alle vorhandenen erschöpfen und //(w) eine ideale Zahl ist, welche 

 keiner derselben äquivalent ist, so wird ebenso leicht gezeigt, dafs folgende 

 h ideale Zahlen 



H{ui), i/(u>)F{uj), n(ui)F(wy n(w)F(wy-' 



weder unter sich noch mit irgend einer der vorhergehenden äquivalent sein 

 können. Fährt man so fort bis alle Klassen der idealen Zahlen erschöpft 

 sind, so erkennt man, dafs dieselben in Gruppen von je h Klassen sich ord- 

 nen lassen und man hat den Satz : 



Der Exponent der niedrigsten Potenz einer jeder idea- 

 len Zahl, welche zu einer wirklichen wird, ist immer ein ge- 

 nauer Theil der Anzahl aller Klassen der idealen Zahlen. 



§. 11. 



Die in dem Vorhergehenden gegebene Theorie der Zerlegung der 

 complexen Zahlen in ihre idealen Primfaktoren will ich nun noch auf die 

 complexen Zahlen der Kreistheilung anwenden, weil sie allgemeinere Resul- 

 tate liefert als meine früheren Arbeiten in diesem Gebiete, welche sich auf 

 den Fall beschränkten, dafs der Wurzelexponent der zu Grunde gelegten 

 Wurzel der Einheit eine Primzahl war. 



Ist X eine imaginäre Wurzel der Gleichung x" = \, p eine Primzahl, 

 g eine primitive Wurzel derselben, w eine primitive Wurzel der Gleichung 

 w" = 1, TZ irgend ein Divisor von p — i und setzt man 



(ü), x) = a: + u)x -\- lü" X ■+■....+ (jf x^ 



so hat man bekanntlich 



(w, X) {(iT \ x) =. ü)-^-^ p 

 — . ,4. , r— = -0/^ (w) 



wo \^, (w) eine nur die Wurzel w, nicht aber x enthaltende ganze complexe 

 Zahl ist, welche folgendermaafsen dargestellt werden kann : 



