Zur Theorie der comjdexen Zahlen. 43 



, . . h-i-s Ind. (§•* + 1) 



wo das Summenzeichen auf alle Werthe des h ^ o, i, 2, . . . p — 2 zu be- 

 ziehen ist, mit Ausschluss des Werthes h := -^-^ — , und das Zeichen Ind. 

 den Index andeutet für die primitive Wurzel g und den Modul p. Ferner ist : 



und 



(w, x)" = w^^^p ^^,(tt)) -^^ü)) 4^^{ui) . . . . ^^„_,(ü)). 

 Ich untersuche nun zunächst die idealen Primfaktoren der complexen 

 Zahl 4^, (w). Diese können, weil '4', (w) ein Faktor von ys ist, nur ideale 

 Primfaktoren des p sein, welches eine nicht in dem Wurzelexponenten n der 

 Wurzel ui enthaltene Primzahl ist. Diese Primzahl p gehört, weil ?i ein Di- 

 visor von p — 1 ist, zum Exponenten Eins, für den Modul n, so dafs in dem 

 vorliegenden Falle t = 1 ist. Die Perioden ro werden also nur eingliedri« 

 und sind den Wurzeln w' selbst gleich, die ihnen entsprechenden Congruenz- 

 wurzeln m, sind nur die Wurzeln der Congruenz w" ^ 1, mod. p. Wird 

 der Kürze wegen gesetzt ^~- = m, so ist u ^ §"" eine primitive Wurzel 

 dieser Congi-uenz, und wenn man festsetzt, dafs diese der Periode 3', oder 

 was dasselbe ist der Wurzel w entspreche, so ist klar, dafs allgemein die 

 Congruenzwurzel ^''"" die der Wurzel cu' entsprechende sein wird. Es sei 

 uuny^(w) ein idealer Primfaktor des p, und zwar der zur Substitution w' =g'" ' , 

 gehörende, so wird der zur Substitution w" = g"" gehörende, wo r eine re- 

 lative Primzahl zu n sein soll, durch /"(w' ) zu bezeichnen sein. Bedeutet 

 ^ diejenige Zahl, welche der Congruenz r^ ^ 1, mod. n, genügt, so ist die 

 Substitutionen" = g'" ' gleichbedeutend mit w' =g"'^\ und weil co' — g"^' 

 offenbaar den idealen Primfaktor y(w' ) enthält, so hat man die Congruenz 



w' =g'"^' , mod./(w'), 

 für alle Werthe / = 1, 2, i, . . . 7J. Substituirt man nun diese Congruenz- 

 wurzeln anstatt der Wurzeln w' in dem oben gegebenen Ausdrucke des \^^ (w) 

 so hat man : 



^|^, (w) = 2, g- ^ , mod. /(ui ), 



und weil 



Ind. (?* -f- I) _ , , . 

 g =j? + 1 



für den Modul p, folglich auch für den Modul f{w' ), so ist 



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