44 Kummer: 



■4^, {u>) = ^. g"'' ig' + 1)'" ' ■ , mod. fiw' ), 

 für /i = 0, 1, 2, .... p — 2, wo man nicht weiter nöthig hat den Werth 

 // = '' ~ auszuschliefsen, da das demselben zugebörende Glied dieser Summe 

 congruent Null ist. Anstatt des Potenzexponenten jji^s kann nun sein klein- 

 ster positiver Rest für den Modul p — i gesetzt werden, welcher wenn er den 

 kleinsten positiven Rest von ^s, für den Modul n, bezeichnet, gleich niT ist, 

 so dafs man hat 



^^, (w) =X g""'' ig' -i- 1)- % mod. /(c' ). 



Wird nun die Potenz von g'' + i nach dem binomischen Lehrsatze ent- 

 wickelt, so ist 



^^ -* 7 n(A) n(m(r-Ä) 5 ' 



wo n(Ä:) das Produkt i. 2. 5 k bezeichnet. Mau hat daher 



V. \<^) — -, -,, jj^^.j jj^^^ _ ^^^ g , moa. i[w ). 



Summirt man nun in Beziehung auf alle Werthe des Ä, so wird diese Siimme 

 stets congruent Null, für den Modul p, also auch für den Modul f(w' ), mit 

 Ausnahme des einzigen Falles, wo m^ + h ein Vielfaches von p — i ist. 

 Da aber der höchste Werth des k, nämlich mir, kleiner als yy — i ist, und 

 auch m^ <: p — i, so kann dieser Fall nur Statt haben, wenn mp + k=:p — i 

 ist. Diese Bedingung kann, da k ^ mcr und p — i = m« ist, auch als a + (r> /» 

 dargestellt werden. Ist diese Bedindimg ^ + a- ^ n nicht erfüllt, so hat man 



4^, (w) ^ 0, mod. y(w' ) 

 ist sie aber erfüllt, so wird für den Werth k =i p — i — m^ 



V^""'""' =-1, mod. /y, 

 also 



■4^, (w) ^ -fi — ; — ^ TT r^ tj mod. f(u)'), 



welcher Binomialcoefficient nicht durch p, also auch nicht durch f{ul ) theil- 

 bar ist. In dem Falle, dafs ^ + o- > n, ist also 



■^^ (w) nicht ^ 0, mod. f(ui ). 

 Ich bezeichne mm allgemein durch |— den kleinsten positiven Werth des z, 

 welcher der Congruenz az ^ h, mod. n, genügt; wodurch die Zahlen ^ und 



