Zur Theorie der complexen Zahlen. 45 



T «Is ^ = — L (T = |-^| dargestellt werden, und die Bedingung ^ + tr < yi als 



\—\ + \--\<n, und bemerke, dafs vermöge der Gleichung -J/, ('<') 4^, (j^~ ') = />' 

 %|/, (cü) keinen idealen Primfaktor des p mehrfach enthalten kann. Demnach 

 kann das gefundene Resultat folgendermaafsen ausgesprochen werden : 



Die complexe Zahl 4', (w) enthält alle diejenigen idealen 

 Primfaktoren des p von der Formy(w'), für welche r, als re- 

 lative Primzahl zu n und < n, der Bedingung 



MI in 



fI "*" l~l ^ " 



genügt, und zwar jeden derselben nur einmal, ausser diesen 



aber keinen anderen. 



Demgemäfs kann man die Zerlegung des \^, (w) in seine Primfaktoren 



auch so darstellen : 



^^. ((.) = £ (c.)n/(c.'), 



wo das durch n angedeutete Produkt auf alle Werthe des r zu erstrecken 

 ist, welche der Bedingung 



|i I U I 



ItI + bl < » 



genügen, und wo E[ui) eine complexe Einheit darstellt. 



Aus der gefundenen Zerlegung der complexen Zahl "v^, (w) wird nun 

 auch die Zerlegimg von (w, a)" leicht zusammengesetzt, vermittelst der 

 Formel 



(w, ac)" = o)^^ p . "st', (cü) \i/j (w) \I/, (ü;) . . . . \I/,_ ^ (w) 



Die Anzahl, wie viel mal der ideale Primfaktor y(ü;' ) in diesem Pro- 

 dukte enthalten ist, ist nach dem Obigen gleich der Anzahl der Werthe des 



* aus der Reihe « =: i, 2, 3, n — 2, für welche — + — < n ist, 



vermehrt um eine Einheit, welche daher kommt, dafs der Faktor p dieses 



Ausdrucks den idealen Primfaktor f^m' ) einmal enthält. Es ist nun — 1 -|- 



— j— = 72, woraus folgt, dafs alle Werthe des — , welche kleiner sind als 

 \—;~\ der Bedingung \—\ -\.\~\<.n genügen müssen, aufser diesen aber keine. 

 Die Anzahl dieser Werthe des \—\ und folglich auch die des s ist aber gleich 



— 1, und wenn diese um eine Einheit vermehrt wird, so hat man \- — 



