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gleich der Anzahl wie viel mal der ideale Primfaktor /{iif ) in (tt',.r)" ent- 

 halten ist. Das gefundene Resultat kann nun in folgender Form dargestellt 

 werden : 



Kaf = £(c«)n/K/-^l 



wo das Produkt auf alle ganzzahligen Werthe des r zu erstrecken ist, welche 

 kleiner als n und relative Primzahlen zu n sind und £(w) eine complexe 

 Einheit bedeutet. 



Verwandelt man w in od" ' und setzt n — /• statt r, so kann man die- 

 selbe Formel auch so darstellen : 



(üj- • , xf = E{w-') nf(w )'^l' 



Es kann hier auch die Aufgabe gestellt werden den Lagrangeschen 

 Ausdruck (ao, x) selbst, und nicht nur dessen 7ite Potenz, welche von x un- 

 abhängig ist, in die idealen Primfaktoren zu zerlegen. Dieser Ausdruck ist 

 nämlich eine complexe Zahl der Wurzel xw der Gleichung (xwy" = i und 

 gehört somit den in der gegenwärtigen Theorie behandelten complexen 

 Zahlen an. Derselbe kann nur ideale Primfaktoren des p enthalten, weil 

 (w, x) {u)~ ', x) = u)^^-^ p ist, p ist hier aber eine in dem Wurzelexponenten 

 p/i enthaltene Primzahl, so dafs es sich also in diesem nur um die idealen 

 Primfaktoren der besonderen Art handelt, deren Eigenschaften im §. 6. 

 entwickelt worden sind. Die in Beziehung aufo; allein genommene Norm 

 von (u), x) ist, wie aus der Eigenschaft dieses Ausdruks 



(w, X ) = w~'' (w, a') 

 folgt, gleich der (p — i)ten Potenz desselben, d, h. 



N^(oo, x) = (et), x)'-'; 

 die oben gefundene Zerlegung des {w, x)" in seine idealen Primfaktoren 

 giebt daher folgende Zerlegung der Norm 



N, (w, x) = E(wr n/{x )'"'""^l , 

 wo m = \- — . Wendet man nun auf die complexe Zahl (w, x) den Salz 

 an, dafs eine solche complexe Zahl die idealen Primfaktoren des p für com- 

 plexe Zahlen der Wurzel x w genau eben so oft enthält, als ihre in Beziehung 

 auf X allein genommene Norm die entsprechenden, derselben Substitution 

 angehörenden idealen Primfaktoren des p für complexe Zahlen der Wurzel 



