580 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 10. Juli 1919 



Über den Wiederkehrsatz von Poincare. 



Von C. Caratheodory. 



lJer Beweis, den Poincare von seinem berühmten WiederLelirs.il/. ge- 

 geben hat 1 , schwebte ursprünglich in der Luft, weil schon die Aussage 



des Satzes nur mit Hilfe der LEBESGUESehen Theorie des Inhalts von 

 Punktmengen, die mehr als ein Jahrzehnt nach der PoiNCARESchen Ab- 

 handlung entstanden ist 2 , einen präzisen Sinn erhält. Der PoiNCAREsehe 

 Beweis enthält aber nicht nur sämtliche Gedanken, aus denen die Richtig- 

 keit seines Satzes folgt, sondern ist auch bei sachgemäßer Deutung der 

 Schlüsse bindend, wenn man die LEBESGiresche Theorie voraussetzt 3 . 



Wenn ich mir trotzdem erlaube, auf diesen Gegenstand zurückzu- 

 kommen, so ist es nur. weil man durch eine geringe Modifikation des 

 PoiNCARESchen Gedankenganges seinen Beweis außerordentlich verein- 

 fachen und ihn in wenigen Strichen führen kann. 



i. In seiner einfachsten Gestalt lautet der PoiNCAREsehe Satz fol- 

 gendermaßen 4 : 



Es sei G ein Gebiet (d. h. eine offene zusammenhängende 

 Punktmenge des ra-dimensionalen Raumes), dessen Inhalt mli 

 endlich ist und in dem eine st a t ionäre Strömung einer inkom- 

 pressibeln Flüssigkeit stattfindet. 



' Sur les equations de la Dynamiq i le Probleme des trois corps. Acte 



Mathematica i.s (1890) p. 1 — 270: der betreffende Satz p. 67 — 72. Les methodes 

 nouvelles de la mecanique Celeste '1'. III (Paris 1:899) 1'- '4° _I 57- Siehe auch für 

 die weitere Literatur den Artikel von I'. Hertz, über statistische Mechanik im Repcr- 

 toriiim der Physik von Rudolph Webeb und R. Gans (Bd. I, 2 p. 461). 



- Integrale, Longueur, Aire. These, Annali di Matematica (3) 7 (1902). 

 Die Lücke im PoiNCARESchen Beweise besteht darin, daß er. nachdem er die 

 Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge von G gleich dem Inhalte dieser Punktmenge 

 dividiert durch den Inhalt von G gesetzt bat, ohne Bedenken die Sätze über zusammen- 

 gesetzte Wahrscheinlichkeit anwendet und auf diese Weise die Wahrscheinlichkeil ron 

 Punktmengen ausrechnet, für welche der Inhalt ohne LEBESGUESche Maßbestimmung 

 nicht zu existieren braucht, so daß man nicht wissen kann, ob nicht durch eine andere 

 Anordnung der Rechnungen für dieselben Punktmengen andere Wahrscheinlichkeits- 

 zahlen gefunden werden könnten. 



4 Siehe für die Bezeichnungen mein Buch: Vorlesungen über reelle Funktionen 

 (Leipzig 1918). 



