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Bezeichnet man mit /' einen beliebigen Punkt von G und 

 mit l\.l'.. ■■ die Orte, in denen der materielle Punkt, der 



zur Zeit Null mit /' zusam nfäl lt. sich zu den Zeiten r, Jr, • • • 



befindet, wobei r eine beliebige feste positive Zahl bedeutet, 

 s,, tsl /' ein Häufungspunkt der abzahlbaren Punktmenge 

 J /', . /'. . • ) außer höchstens wenn /',. in einer Teilmenge 

 von (i enthalten ist. die vom (Lebi -'■! i sehen) Inhalt Null ist. 



Füllt einer der Punkte /',./'.-. /.. Ii. der Punkt /', . mit /' zu- 

 sammen, so isl dir durch /' gehende Stromlinie geschlossen, und es 

 fallen, weil die Strömung stationär ist, die Punkte /' : . /'...-•■ eben- 

 falls mit /', zusammen. Der l'unkt /', ist also in diesem Falle ein 

 Häufungspunkt der Punktmenge (/', . /'.•■•]. 



Hieraus folgt, daß /'., nur dann kein Häufungspunkt der betrach- 

 teten abzählbaren Punktmenge ist, wenn die Entfernung zwischen /', 

 und der Punktmenge [l\ . /', . • •[ von Null verschieden ist, oder was 

 auf dasselbe hinaus kommt, wenn eine Umgebung ' ',. von /' gefunden 

 werden kann, die keinen einzigen der Punkte P, , P 2 , ■■• • enthält. 



Bezeichnet man mit A(h) diejenige Teilmenge von G-, für welche 

 die Entfernungen /', /'... /',/',. ■ • • sämtlich größer als // sind, so sind 

 sämtliche Punkte P von G Häufungspunkte von [P s , P 2 , • • ••}, außer 



wenn sie in der Punktmenge 



•'(:.|h-.ii;i + .i(;i + - ■■ 



enthalten sind. Der PomcARESche Satz wird also bewiesen sein, sobald 

 wir zeigen können, daß die Punktmenge A(h) für jedes h eine Null- 

 menge ist. 



2. Wir beweisen zunächst, daß die Punktmenge A (h) für jedes 



// von meßbarem Inhalte ist. Zu diesem Zweck bezeichnen wir mit 



» 



A n (h) diejenige Teilmenge von G, für welche die n Entfernungen 



sämtlich größer als h sind, und bemerken, daß die Punktmengen A n (h), 

 wegen der Stetigkeit der Strömung, offene Punktmengen sind, d, h. 

 daß sie aus lauter inneren Punkten bestehen. Sie sind also meßbar, 

 und dasselbe gilt von unserer Punktmenge A(A), die man ja gleich 

 dem Durchschnitte dieser abzählbar unendlich vielen Punktmengen 

 Aj/i) setzen kann. 



Man kann nun die Punktmenge G mit endlich oder abzählbar 

 unendlich vielen offenen Punktmengen 



'', ■ ('■■ ■ 

 überdecken, von denen jede einen Durchmesser besitzt, der kleiner ist 

 als A. Wir betrachten den Durchschnitt 



