5S'2 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 10. Juli 1919 



Bj = A(h)Uj ( /=1 . 2 ....) 



der Punktmenge A(h) mit jeder der Punktmengen Uj und bemerken, 

 •biß, weil A(//) gleich der Vereinigung aller Punktmengen Bj ist, die 

 Relation 



mA(h)<^mBj 

 j 

 bestellt 



Die Punktmenge A(h) wild also sieher eine Nullmenge sein, wenn 

 wir zeigen können, daß jede der Punktmengen Bj diese Eigenschaft 

 besitzt. 



Der Teil der Flüssigkeit, der zur Zeit Null die Punktmenge B t 

 ausfüllt, wird zu den Zeiten r. :;.■•• in Teilmengen von G ent- 

 halten sein, die wir mit 



b;,b;,b;',... 



bezeichnen wollen. Die Punktmengen // ; . B', • • • liegen aber getrennt; 

 würden nämlich zwei unter ihnen wie Bj® und B j (l + I ' ) gemeinsame 

 Punkte besitzen, so müßten, da die Strömung stationär ist, d' p Punkt- 

 mengen Bj und BjW ebenfalls gemeinsame Punkte haben, was aber 

 unseren Voraussetzungen widerspricht. Denn dann würde die Punkt- 

 menge Bj Punkte P enthalten, deren /•'" Bild P k . ebenfalls in Bj enthalten 

 ist; die Entfernung P P k wäre aber dann kleiner als die Zahl h, die, 

 nach unserer. Konstruktion, den Durchmesser von Bj übertrifft, und B ; 

 könnte infolgedessen nicht Teilmenge von A{h) sein. 



Die unendlich vielen Punktmengen B-, B] , B- , ■■ ■ liegen also 

 außerhalb einander; sie sind außerdem als Durchschnitt der zwei 

 meßbaren Punktmengen A(h) und I] bzw. als stetige Bilder dieses 

 Durchschnitts ebenfalls meßbare Punktmengen und für ihre Summe S 

 gilt also die Relation 



( i ) mS = m Bj -+- m B- -+- m B]' -+- ■ ■ ■ . 



Nun haben aber die Punktmengen Bj k) , weil die strömende Flüssig- 

 keit inkompressibel ist, alle denselben Inhalt wie Bj und ihre Summe S 

 hat als Teilmenge von G einen endlichen Inhalt. Dies ist mit der 

 Gleichung (i) nur dann verträglich, wenn 



mBj = o 

 ist. woraus, wie wir schon bemerkten, die Gleichung 



(2) mA(/i) = o 



folgt. 



3. Poincake hat seinen Satz auch auf den allgemeineren Fall an- 

 gewandt, daß die strömende Flüssigkeit zwar nicht inkompressibel ist, 





