Caratb oby; ' ber den Wicdcrkehrsata von Poini uti 58a 



aber eine positive In tegralin Variante besitzt. Hierunter isl folgendes 

 zu vei'stehen: Es sei l/i/') eine über G summierbare positive Funktion, 

 die höchstens in einer Nullmenge von G verschwindet; isl 

 dann W eine willkürliche meßbare Teilmenge von G und führ! man 

 die Bezeichnung ein 



(3) «W = | !/(/') dw, 



H 



so soll 



u.W(o) = uU'(/| 



für jeden Wen von / sein, wenn W(ö) und \l'(/i beliebige Teile von 

 G bezeichnen, in welchen sich dieselben Flüssigkeitsmassen zur Zeil 

 Null bzw. / befinden. Ersetzt man in dem Beweise des vorigen Para- 

 graphen überall den Inhalt ///.l durch das Integral \iA, so findet man 

 mit den obigen Bezeichnungen 



v..\{h) = O. 



Das Integral (3), über die meßbare Punktmenge .!(//) erstreckt, kann 

 aher unter An\ gemachten Voraussetzungen dann und nur dann ver- 

 schwinden, wenn der Inhalt der Punktmenge A(h) gleich Null ist 1 , so 

 daß auch hier die Gleichung (2) ihre Gültigkeil behält. 



4. Für die mechanischen Anwendungen des Wiederkehrsatzes ist. 

 eine weitere Verallgemeinerung desselben wichtig. Wir wollen nämlich 

 nicht mehr voraussetzen, daß die offene ra-dimensionale Punktmenge G 

 als Teilmenge des w-dimensionalen Raumes angesehen werden muß 2 . 

 Jedes re-dimensionale Gebiei G kann aher. auch unter den allgemeinsten 

 Voraussetzungen, stets als die Vereinigung von endlich oder abzahlbar 

 unendlich vielen offenen Punktmengen <>,. (?,, • • ■ vom Typus der 

 n-dimensionalen Kugel dargestellt werden. 



Man kann nun innerhalb eines jeden der Teilgebiete G, und folg- 

 lieh auch innerhalb des ganzen Gebietes G abzählbar unendlich viele 

 offene Punktmengen 



(4) r . / . / .... 



linden, von der Eigenschaft, daß. wenn I' irgendein Punkt von G und 

 ' ',. irgendeine Umgebung von P ist, mindestens eine dieser Punktmengen 



/.. B. I '..;. nicht nur den Punkt /' in ihrem Innern enthält, sondern auch 

 seihst sann ihrer Begrenzung in U P enthalten ist . 



5i( ic z. I!. meine Vorlesungen über reelle Funktionen ; 



- So können z.B. die mehrfach zusammenhängenden RisaiANNSchen Flächen 

 zwar al> 2-dimensionale offei e Punktmengen, aber nie als Teilmengen der schlichten 

 Ebene aufgefaßt werden. 



* Die abzahlbar vielen n-dimensionalen Würfel mit rationalen Miltelpunkts- 

 koordinaten und rationalen Kantenlängen bilden /. I>. innerhalb des SR eine I 

 Gebieten, die die geforderten I - en besitzen, 



