116 Gesammtsitzung vom 14. Februar. 
wähnten Gleichungen als Transformationsgleichungen auffassen, andrer- 
seits als Potenzen von Multiplicationsgleichungen darstellen kann, wie 
ich es im Monatsbericht vom Dee. 1877 näher dargelegt habe, so zeigt 
sich unmittelbar, dass diese Gleichungen die Eigenschaften haben, die 
bei den Kreistheilungsgleichungen darauf beruhen, dass alle Coeffieienten 
durch die betreffende Primzahl theilbar sind, und deren Analoga ich 
sonst in der von Eısensteiw bei den Lemniscatischen Functionen ange- 
wendeten Weise bewiesen hatte. Die Indices der verschiedenen Prim- 
zahlen ergeben sich natürlich auch für jene Transformations-Gleichungen 
ohne alle Schwierigkeit, denn es ergiebt sich ja genau so wie bei den 
Kreisfunetionen, zu welchen Exponenten die Primzahlen resp. ihre com- 
plexen Factoren gehören. .So weit es sich um die singulären Moduln 
selber handelt, die auch als Perioden der Wurzeln solcher Transforma- 
tionsgleichungen aufgefasst werden können, ist — wie ich schon vor 
langer Zeit ermittelt hatte, als ich die Classenzahl dafür berechnete 
(conf. Monatsber. v. Juni 1862) der Index der Composition entscheidend 
für die Indices der Primfactoren. Ich verstehe unter diesen Indices 
nämlich die verschiedenen Grade der irreductibeln Factoren, in welche 
die betreffende Gleichung für den bezüglichen Modul zerfällt. Wenn 
diese Indices gefunden sind, so bedarf es nur der Anwendung der 
allgemeinen Formel, die ich im Monatsbericht vom Jan. 1863 publieirt 
habe, um die Classenanzahl ohne Weiteres aufzufinden. Die Formel 
ist — wie ich schon dort bemerkt habe — eine Art Universalmittel 
für die bezüglichen Untersuchungen. Nur habe ich jetzt immer — 
wie schon seit lange in meinen Universitätsvorlesungen — die 2 beim 
mittleren Coefficienten der quadratischen Formen weggelassen. Habe 
ich so die arithmetischen Eigenschaften jener von der Analysis ge- 
lieferten Gleichungen, die Classenzahl der entsprechenden Formen ete. 
schon vor vier Wochen (am 19. Febr.) in der Akademie vorgetragen, 
so war mir doch zum Beweise jenes Satzes, den ich so lange geahnt 
und gesucht habe, noch eine ganz andre — ich möchte sagen — 
philosophische Einsicht in die Natur jener merkwürdigen Gleichungen 
für die singulären Moduln nöthig, vermöge deren es klar gelegt werden 
musste, warum diese die grade hinreichenden Irrationalitäten geben, 
welche — nach Kummers Ausdrucksweise die ich auch im J. 1857 in 
der Mittheilung gebraucht habe — die idealenZahlen für «a +byV— D 
wirklich darstellen. Diese Einsicht habe ich nun erlangt. Sie beruht 
auf zwei merkwürdigen Betrachtungen. Erstens: die Abelschen 
Gleichungen pten Grades (wobei der Einfachheit halber p Primzahl sei) 
stehen auf ganz andrer Stufe als andre z. B. die reinen Gleichungen 
pten Grades, d.h. die Wurzeln der Abelschen Gleichungen sind dem 
Rationalen so nahe als möglich, weil die darin vorkommenden Wurzel- 
