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Über endliche Gruppen. 
Von G. FROBENIUS. 
re der Theorie der endlichen Gruppen betrachtet man ein System 
von Elementen, von denen je zwei, A und B, ein drittes AB erzeugen. 
Über die Operation, durch welche AB aus A und B hervorgeht, wird 
nur vorausgesetzt, dass sie folgenden Bedingungen genügt (vergl. 
meine Arbeit Neuer Beweis des Srrow’schen Satzes, ÜrELLE’s Journal 
Bd. 100.) Sie soll sein 
fi. eindeutig. Ist A=A und B= PB’, so ist AB= ADB’. 
2. eindeutig umkehrbar. Ist AB= AB’, so ist jede der 
beiden Gleichungen A=A', B= B’ eine Folge der anderen. 
3. associativ, aber nicht nothwendig commutativ. Es ist 
also (AB)C = A(BC), aber im Allgemeinen nicht AB = BA. 
4. begrenzt in ihrer Wirkung, so dass aus einer endlichen 
Anzahl der gegebenen Elemente durch beliebig oft wieder- 
holte Anwendung der Operation nur eine endliche Anzahl 
von Elementen erzeugt wird. 
Aus diesen Voraussetzungen folgt, dass es unter den betrachteten 
Elementen eins und nur eins giebt, das Hauptelement, das der Be- 
dingung Z’= E genügt, und dass zu jedem Elemente A ein und nur 
ein reeiprokes A existirt, das die Gleichungen AA"=A’A=E 
befriedigt. 
Ich werde nach dem Vorgange von Depekınp durch die Gleichung 
A—=-4A+B+rC+-- 
ausdrücken, dass die Elemente A,B,C,--- zu einem Complexe A 
zusammengefasst werden, und durch die Gleichung 
SENDE, 
dass die Complexe A,®8,€,--- zu einem weiteren Complexe 5 ver- 
einigt werden. Damit ein Complex völlig bestimmt sei, muss von 
jedem seiner Elemente bekannt sein, wie oft es darin vorkommt. In 
der Regel aber sieht man bei der Betrachtung der Complexe von der 
Vielfachheit der Elemente ab. Unter der Ordnung eines Complexes 
versteht man daher die Anzahl der verschiedenen Elemente, die in 
