164 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
dem Complex enthalten sind. Ich betrachte hier nur endliche Com- 
plexe, d. h. solche von endlicher Ordnung. Ein Complex ® heisst 
durch einen anderen X theilbar oder A in ® enthalten, wenn jedes Ele- 
ment von A auch in ®B vorkommt, während nicht ausgeschlossen ist, 
dass ein bestimmtes Element in W öfter als in ® enthalten ist. Die 
Ordnung von X ist nicht grösser als die von ®. Zwei Complexe heissen 
gleich, wenn jeder durch den anderen theilbar ist. 
Durchläuft A alle Elemente des Complexes A und B die von ®, 
so durchläuft AB einen Complex, den ich mit AB bezeichne. Besteht B 
nur aus einem Elemente B, so bezeichne ich AB auch durch AB. Ist 
A=4A+4+ +4, B8B—=B+B,+--+B, 
so ist 
AB—=ADB+H+A,B+--+4,B—= AB +AB,+---+QAB.. 
Aus dem associativen Gesetze für die Elemente ergiebt sich das ent- 
sprechende für die Complexe 
(AB)E — A(BE) 
und damit die Möglichkeit Potenzen zu bilden. Die Operation, durch 
die AB aus A und B hervorgeht, ist eindeutig, aber nicht eindeutig 
umkehrbar, genügt also den Bedingungen ı., 3. und 4., aber nicht 
der Bedingung 2. Nur wenn € aus einem Elemente € besteht, folgt 
aus AC=BC durch Multiplieation mit C”, dass A\=®B ist. Aus 
einer endlichen Anzahl von Elementen kann man, wenn man von der 
Vielfachheit absieht, auch nur eine endliche Anzahl von Complexen 
bilden. 
SR 
Ein Complex & heisst eine Gruppe, wenn ® durch ©’ theilbar 
ist. Gehört das Element @ der Gruppe © an, so ist 
(1.) 66=6 ,„ 66=6, 
und folglich ist © — &. Das Hauptelement E bildet für sich allein eine 
Gruppe €, die Hauptgruppe. Jede Gruppe enthält das Hauptelement 
und ferner zu jedem Elemente A auch das reeiproke A. Besteht 
daher umgekehrt eine der beiden Gleichungen (1.), so gehört das 
Element @ der Gruppe © an. 
Nach der Bedingung 4. bilden die Potenzen eines beliebigen end- 
lichen Complexes A eine Reihe A, A’, W,---, deren Glieder sich perio- 
disch wiederholen, von einem bestimmten Gliede an, das aber nicht 
das erste zu sein braucht. Ist W*° der erste dieser Complexe, der 
einem früheren W gleich ist, so sind unter allen Potenzen von X nur 
