Frosenıus: Über endliche Gruppen. 165 
die ersten r+s-1 verschieden, und es ist W— 4”, wenn o-p durch s 
theilbar ist und p und o >r sind. Ist £ durch s theilbar und r<t<r+s, 
so ist (A)’— W, also ist W= At’ — W*+— ... eine Gruppe, und dies 
ist die einzige Gruppe, die eine Potenz von W ist. . Die Potenz von 
E+N, die eine Gruppe ist, ist die Gruppe kleinster Ordnung, die 
durch den Complex U theilbar ist, und wird die von den Elementen 
des Complexes A oder‘ von dem Complexe A selbst erzeugte Gruppe 
genannt. 
Ist & eine Gruppe, und sind R und S irgend zwei Elemente, 
so haben die beiden Complexe GR und &S entweder kein Element 
gemeinsam oder alle, da der Complex $&R nach (1.) ungeändert bleibt, 
wenn man Ä durch irgend ein anderes seiner Elemente GR ersetzt. 
Im letzteren Falle ist RS in © enthalten, und R und S heissen aequi- 
valent (mod. 6). Ist die Gruppe © in der Gruppe 9 enthalten, so 
besteht 5 aus einer Anzahl verschiedener Complexe 
S=6H+6H,+---+6H,, 
von denen nicht zwei ein Element gemeinsam haben. Sind g und A 
die Ordnungen von © und 9, so ist A= gn (Satz von LaGrAnGE). Be- 
zeichnet man den Complex 7, +H,+---H, mit 95, so ist 9 = 69.- 
Die Elemente H,, H,,--- H, des Complexes 9, bilden nach dem 
Modul © ein vollständiges System nicht aequivalenter Elemente oder 
kürzer ein vollständiges Restsystem von 9. Jedes einzelne, wie 
H,, kann durch jedes andere Element des Complexes $H, ersetzt 
werden. 
Ist 6 = @+@G,+:::-+@, eine Gruppe der Ordnung r, so ist 
66 = 6G@ +6@,+-::-+6@G,. Da jeder dieser r Complexe gleich & 
ist, so sind von den r’ Elementen des Complexes &° je r einander 
gleich. Sind A und ® zwei Gruppen, so bilden alle Elemente, die 
A und ® gemeinsam haben, eine Gruppe D, die der grösste gemein- 
same Divisor von A und ® genannt wird. Seien d,a=rd, b= sd 
die Ordnungen von D, A und ®B, sei 
A—=-AD+-+4D=- AD, B —-DB+--+DB = DB, 
W,=4 +:-+4, : B,= B+--+ B. 
Dann ist AB=ADDOB. Da der Complex DD jedes Element von 
D genau dmal enthält, so enthält AB jedes Element von 
ADB, — AB, — AB 
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dmal. Die er Elemente von A®, sind unter einander verschieden. 
Denn sind A und A’ zwei (gleiche oder verschiedene) Elemente von 
A und B und B’ zwei Elemente von ®,, und ist AB= AP’, so ge- 
hört BB" = A”A sowohl der Gruppe A als auch der Gruppe ® an, 
