166 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 21. Februar. 
ist also ein Element D von D. Ist aber BP’ = DB, so ist DB = DB, 
also B’= B. Denn zwei verschiedene Elemente von ®, sind (mod. D) 
verschieden. Mithin ist auch A’ = A. 
Die von dem Complexe A+®B (oder auch AB) erzeugte Gruppe E 
heisst das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der beiden Gruppen A 
'b 
und ®. Die Gruppe € muss die Z verschiedenen Elemente des Com- 
plexes AB sämmtlich enthalten. Daher ist ihre Ordnung an oder 
es ist 
(2.) cd > ab. 
Damit cd= ab sei, ist nothwendig und hinreichend, dass € — AB 
ist, dass also der Complex AB eine Gruppe ist. Diese Gruppe ent- 
hält auch alle Elemente des Complexes BA, und da dessen Ordnung 
a ist, so ist BA — AB, oder die beiden Complexe sind mit einander 
vertauschbar. Ist umgekehrt AB — BA, so ist 
(AB)? — UBWB — AAB)B — AB’ — AB, 
also ist AB eine Gruppe, und folglich ist AB = €. Es ergiebt sich 
so der Satz: 
I. Sind a und b die Ordnungen der beiden Gruppen A und B, und 
ist d die Ordnung ihres grössten gemeinsamen Divisors D, so enthält der 
ıb 5 . 
Complex AB genau T verschiedene Elemente und jedes Element dmal. 
Der Complex AB ist stets und nur dann eine Gruppe, wenn A und ® 
vertauschbar sind. Ist ce die Ordnung des kleinsten gemeinschaftlichen Viel- 
fachen & der Gruppen A und B, so ist cd>.ab, und es ist stels und nur 
dann cd= ab, also C=AB, wenn A und B vertauschbar sind. 
Im letzteren Falle it C=A®, — AB. Die Elemente B,, B,,--- 
B,, die ein vollständiges Restsystem von ® nach dem Modul D bil- 
den, bilden zugleich ein vollständiges Restsystem von & nach dem 
Modul A. Zunächst sind sie (mod. A) verschieden. Denn wäre B,B}' 
in 4 enthalten, so wäre dies Element, da es zugleich der Gruppe ® 
angehört, in D enthalten. Wenn man ferner die Gleichung 
(3.) B— DB +DB,+---+DB, 
links mit A multiplieirt, so erhält man 
(4-) C=AB+AB, +--+QB,. 
Ist & eine Gruppe und R irgend ein Element, so ist auch Z’6GR 
eine Gruppe. Sie heisst der Gruppe & ähnlich oder mit & conju- 
girt. Sind A und B zwei Gruppen von den Ordnungen a und b, 
so bleibt der Complex ARB ungeändert, wenn AR durch irgend ein 
