Frogenwvs: Über endliche Gruppen. 167 
anderes seiner Elemente ARB ersetzt wird. Zwei Complexe ARB 
und AS®B haben daher entweder kein Element gemeinsam oder alle. 
Im letzteren Falle heissen $% und S nach dem Doppelmodul (A, 8) 
aequivalent (vergl. meine Arbeit Über die Congruenz nach einem aus 
zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crerue’s Journal Bd.ı01, 
und Deverrıno, Zur Theorie der Ideale, Göttinger Nachrichten 1894). Um 
die Ordnung des Complexes ARB zu bestimmen, ordne ich jedem 
seiner Elemente X ein Element R’X des Complexes (R'AR)B zu. 
Da RAR eine Gruppe ist, so ist die Ordnung dieses Complexes 
[4 
d’ 
RAR und ® ist. Da nun bei jener Zuordnung zwei gleichen Elementen 
X und Y zwei gleiche Elemente RX und R'Y entsprechen, und zwei 
verschiedenen Elemente zwei verschiedene, so ergiebt sich der Satz: 
II. Sind a und b die Ordnungen der beiden Gruppen A und ®B, so 
wo d die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors der Gruppen 
enthält der Complex ARB genau _ verschiedene Elemente und jedes dmal, 
jalls d die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors der beiden Gruppen 
RAR und B,(oder A und RBR) ist. 
Sind A find B® zwei Untergruppen einer Gruppe 5 der Ord- 
nupg /, so zerfallen die Elemente von 9 nach dem Doppelmodul (A, 3) 
in Complexe 
S-AHB+AZB+ + AHnB, 
von denen nicht zwei ein Element gemeinsam haben. Dann bilden 
H,, H,,.:: H, ein vollständiges System nicht aequivalenter Elemente 
oder ein vollständiges Restsystem der Gruppe 9 nach dem 
Doppelmodul (A, B). Ist d, die Ordnung des grössten gemein- 
samen Divisors der beiden Gruppen H, AH, und 3, so besteht der 
Complex AH,B aus = verschiedenen Elementen, und folglich ist 
u 
N ae 
(5-) Fa Es 
Wir brauchen diese Formel namentlich für den Fall, wo ®3 aus allen 
Elementen von 5 besteht, die mit A vertauschbar sind. Da ® eine 
durch A theilbare Gruppe ist, so ist, wenn H, dem Hauptelemente 
aequivalent ist, der Complex A\YB—=AB=%, besteht also aus allen 
Elementen von $, die mit 4 vertauschbar sind. Folglich enthält 
keiner der anderen Complexe ein solches Element. Wenn also u„>1 
ist, so ist H,AH, von A verschieden. 
Ist die Gruppe 5 durch die Gruppe © theilbar, und ist & mit 
jedem Elemente H von $ vertauschbar, 
G6H—= H®, H'6H=6, 
