Frosentus: Über endliche Gruppen. 169 
IV. Lassen sich die Elemente A, B, €, :-- einer Gruppe 9 in Com- 
‚plexe eintheilen, und die Elemente A’, B', €’, --- einer Gruppe 9 in ent- 
sprechende Complexe, so dass stets AB und A’B’ entsprechenden Complewen 
angehören, wenn dies mit A und A’ und mit B und B’ der Fall ist, so 
ist der Complex & von $, der das Hauptelement enthält, eine invariante 
Untergruppe von 9, und dasselbe gilt von dem entsprechenden Complewe 
& von 5, die Gruppen p und ® sind isomorph, und in ihnen redueirt 
sich jeder Complex auf ein Element. 
Seien A und B zwei Gruppen, € ihr kleinstes gemeinschaftliches 
Vielfache und D ihr grösster gemeinsamer Divisor. Ist A mit jedem 
Elemente B von B vertauschbar, so ist C=APB, und weil A auch 
mit jedem Elemente von A vertauschbar ist, so ist A eine invariante 
Untergruppe von €. Nun ist B"DB der grösste gemeinsame Divisor 
von B’AB=NX und ZBB=%B, also gleich ®D, und mithin ist 
D eine invariante Untergruppe von ®. Ist in der Gleichung (3.) 
DB :-OB,=DB,, so ist auch AB, -AB,—=AB,. Folglich sind die 
8 x 
beiden Gruppen = und © holoedrisch isomorph (vergl. WEBER, 
Elliptische Funetionen, 8. 53, 4). 
V. Ist die Gruppe A mit jedem Elemente der Gruppe ® vertausch- 
bar, und ist C—= AB das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von A und B, 
so ist der grösste gemeinsame Divisor D von U und B eine üinwariante 
5 
Untergruppe von B, und die beiden Gruppen = und 1 sind holoedrisch 
? U D 
isomorph. 
Auf diesen Satz gestützt, definire ich durch die Gleichung 
B 
Br uuo 
- ba) 
das Zeichen A 
auch für den Fall, wo die Gruppe W. ohne noth- 
wendig ein Theiler von B zu sein, mit jedem Elemente von ® ver- 
tauschbar ist. 
Der specielle Fall dieses Satzes, wo A und ® beide invariante Unter- 
gruppen von E sind, bildet die Grundlage für den Beweis des Satzes: 
Wenn eine Gruppe zwei verschiedene Reihen der Zusammensetzung 
hat, so sind die aus der einen Reihe entspringenden Factorengruppen, 
abgesehen von der Aufeinanderfolge, den aus der anderen Reihe ent- . 
springenden holoedrisch isomorph (HöLver, a. 20.. 8237): Beim Be- 
weise benutzt HöLDer, im Anschluss an ©. Jorpan und Nrrro an Stelle 
des obigen Satzes das Theorem: 
VI. Ist jede der beiden theilerfremden Gruppen A und B mit jedem 
Elemente der andern vertauschbar, so ist jedes Element von YA mit jedem 
von B vertauschbar. 
