170 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
2. 
Aus den in $.ı entwickelten allgemeinen Sätzen ergeben sich 
zahlreiche Folgerungen, von denen ich hier einige zusammenstelle. 
I. Ist A eine invariante Untergruppe der Gruppe 9, sind a und h 
die Ordnungen von A und 9, und sind a und — theilerfremd, so ist jede 
Untergruppe von 5, deren Ordnung ein Theiler von a ist, ein Divisor 
von X. Daher enthält 9 nur eine einzige Untergruppe der Ordnung a, 
und diese besteht aus allen Elementen von 9, deren Ordnung in a aufgeht. 
Denn sei ® eine Untergruppe von 9, deren Ordnung 5b in a 
aufgeht. Da WA mit jedem Elemente von 5 vertauschbar ist, so sind 
die beiden Gruppen A und ® vertauschbar. Sind also ce und d die 
Ordnungen ihres kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen € und ihres 
grössten gemeinsamen Divisors D, so ist cd=ab. Da 9 durch & 
h ö ; i 
theilbar ist, so ist z durch — theilbar. Ferner ist a durch 5, also 
b L ’ c b . £ Ser 
auch durch = theilbar. Daher ist 7 = 7 fu gemeinsamer Divisor 
von 2 und a, also gleich 1. Mithin ist b=d, und die Gruppe B=D 
ist ein Divisor von X. 
Ist z.B. p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ord- 
nung h einer Gruppe 9 aufgeht, so enthält 5 eine Gruppe 4 der 
Ordnung p°. Die mit A vertauschbaren Elemente von 5 bilden eine 
Gruppe W, deren Ordnung p“g ein Divisor von h ist. Da 4 eine 
invariante Untergruppe von W ist, und q nicht durch p theilbar ist, 
so ist nach dem obigen Satze jede in W enthaltene Gruppe der 
Ordnung p? ein Divisor von A, und die Gruppe X besteht aus allen 
Elementen von W, deren Ordnung eine Potenz von p ist (Syrow, 
Theoremes sur les groupes de substitutions, Math. Ann. Bd. 5, S. 535.) 
Ist also H ein mit W vertauschbares Element von 9, so muss die 
in H’WH=N enthaltene Gruppe H’AH—=NX sein, weil W nur eine 
Gruppe der Ordnung p“ enthält. Die Gruppe W kann folglich, wenn sie 
von $ verschieden ist, nie eine invariante Untergruppe von S sein. 
II. Ist A eine invariante Untergruppe von B und B eine invariante 
Untergruppe von CE, sind a und b die Ordnungen von A und B, und sind 
a und 2 theilerfremd, so ist A auch eine invariante Untergruppe von 6. 
Denn sei C irgend ein Element von 6. Da eine Untergruppe 
von ®B ist, so ist auch C'AC eine Untergruppe von "BC—=B. 
Nach I. enthält aber ® nur eine Untergruppe der Ordnung a. Mithin 
ist CTAC—N. 
Sei allgemeiner in der Reihe der Gruppen A,8,C,-..-6,9 jede 
eine invariante Untergruppe der folgenden. Sind dann a und 2 
