Frosenıus: Über endliche Gruppen. 171 
theilerfremd, so ist A auch eine invariante Untergruppe von 9. Sind 
L 
auch a und — theilerfremd, so enthält 9 nur eine einzige Unter- 
gruppe der Ordnung a. Diese ist durch jede Untergruppe von 9 
theilbar, deren Ordnung ein Theiler von a ist, und besteht aus allen 
Elementen von 9, deren Ordnung in a aufgeht. 
II. Ist p die kleinste in g aufgehende Primzahl, und ist f<p, so 
ist eine Untergruppe der Ordnung g von einer Gruppe der Ordnung fg 
stets eine invariante. 
Die Gruppe 9 der Ordnung A=fy enthalte eine Untergruppe & 
der Ordnung g. Bilden H,,H,,---H, ein vollständiges Restsystem 
von 9 (modd. &, 6), so ist 
ee Mr 9 
j= 2 = d + d, ar ar dr 
wo d, die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors der Gruppen 
und H,'6H, ist. Ist H, dem Hauptelemente aequivalent, so ist d, —=g. 
An 
l oder >p. Da aber f<p ist, so kann keine dieser Zahlen >p sein. 
Mithin ist stets d,—g, also H,6H,—6, und da H, durch jedes 
(modd. 6, &) aequivalente Element ersetzt werden kann, so ist H' &H— & 
für jedes Element H der Gruppe 9. 
Z. B. ist jede Gruppe der Ordnung p“", die in einer Gruppe 9 
der Ordnung p“ enthalten ist, eine invariante Untergruppe von 9. 
Ist f<p, so enthält 5 nur eine Untergruppe der Ordnung 9, 
weil / und g theilerfremd sind. Dies kann man direct so einsehen: 
Seien & und ®&, zwei Untergruppen der Ordnung g, und seien c und 
d die Ordnungen ihres kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen € und 
ihres grössten gemeinsamen Divisors D. Dann ist cd> gg, und weil 
Jede der Zahlen I, ... I ist ein Divisor von g, also entweder gleich 
C in 9 enthalten ist, f9>c, also fgd>gg und p>f> 3. Da aber p 
der kleinste von 1 verschiedene Theiler von g ist, so ist d=g, 
mithin 6, = ©. 
Aber auch der Fall f=p lässt sich auf diesem Wege erledigen. 
Enthält 5 nur eine Untergruppe der Ordnung g, so ist diese eine 
invariante. Enthält aber 5 zwei verschiedene, © und © , so ist e>yY 
und c durch g theilbar und ein Divisor von A=gp, also e=h und 
€=%9. Ferner ist cd>gg, also Be und d<g und d ein Divisor 
von g, also da, der grösste echte Theiler von g ist, d= 2 Setzt 
man nun voraus, der obige Satz sei für Gruppen, deren Ordnung <% 
ist, schon bewiesen, so ist D eine invariante Untergruppe von ® und 
®&,, mithin auch von ihrem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen 9. 
