172 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Die Gruppe 2 hat die Ordnung p’, es sind also je zwei ihrer Elemente 
= 
D Ei 
folglich auch & eine solche von 9. Der damit bewiesene Satz lässt 
sich so verallgemeinern: 
IV. Ist die Ordnung einer Gruppe 9, die eine Untergruppe © der 
Ordnung ab hat, gleich anb, wo jede in a aufgehende Primzahl <n, jede 
in b aufgehende >n ist, so enthält & eine Gruppe, die eine invariante 
Untergruppe von 5 ist, und deren Ordnung durch b theilbar ist. 
Seien p, P,, P,,'': die verschiedenen in b aufgehenden Primzahlen, 
p“ die höchste Potenz von p, durch welche 5 theilbar ist, und ® eine 
in © enthaltene Gruppe der Ordnung p*. Bilden dann H,,H,,-- H, 
ein vollständiges Restsystem von 9 (modd. W, 6), so ist 
vertauschbar. Daher ist — eine invariante Untergruppe von 
(23 
Da 
pP» 
h p“ 
ne pPı Ei 
p“ 
pPm 
’ 
wo p?« die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors der Gruppen 
H,WH, und © ist. Ist H, dem Hauptelement aequivalent, so ist 
ö, St d,<a, so ist nach Voraussetzung p*"%“>p>n, während 
nach der obigen Gleichung n>1+p“-?u ist. Daher ist stets d,— a, 
also ist & durch H, WH, theilbar. Nun kann aber 4, durch jedes 
(modd. VW, ©) aequivalente Element ersetzt werden. Durchläuft also 
H alle Elemente von 9, so ist © durch jede der Gruppen H’YWH 
theilbar, mithin auch durch ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache 
M, eine invariante Untergruppe von 9, deren Ordnung durch p* theil- 
bar ist. Entsprechen so den Primzahlen p,p,,p,,'': die Gruppen 
M,M,M,,---, so ist G durch jede dieser Gruppen theilbar, folglich 
auch durch ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache, eine invariante 
Untergruppe von 9, deren Ordnung durch 5 theilbar ist. 
er ; Stall F 
Ist z.B. p eine in 4 aufgehende Primzahl, und ist — durch eine 
Primzahl theilbar, die >p ist, so kann eine einfache Gruppe der Ord- 
I 
nung Ah keine Untergruppe der Ordnung =, besitzen. 
V. Ist p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung 
einer Gruppe 9 aufgeht, ist y<a, und ist G eine Untergruppe von 9, 
deren Ordnung p? ist, so bilden die mit & vertauschbaren Elemente von 5 
eine Gruppe ©, deren Ordnung c' die Primzahl p in einer höheren als 
der yten Potenz enthält. Ist ec’ nicht durch p“ theilbar, so enthält © min- 
destens eine von 6 verschiedene Gruppe, die mit & in Bezug auf 9 con- 
Jugirt ist. 
Bilden H,, H,,--: H, ein vollständiges Restsystem von 5 (modd. 
6, ©), so ist 
