Frosesivs: Über endliche Gruppen. 173 
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p°ı p?: p?m 
wo p°« die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors von H,'cH, 
und © ist. Ist 7, dem Hauptelement aequivalent, so ist d, —y. Ist 
aber „>|, so ist nach $.ı H, CH, von € verschieden. Wenn e’ 
durch p“ theilbar ist, so ist nach Voraussetzung &>y. Wenn aber 
A i : Ne 5 
ce nicht durch p“ theilbar ist, so ist durch p theilbar, und daher 
können der obigen Formel zufolge a. 7m nicht alle durch 
8 ge p p p 
theilbar sein. Für mindestens einen Index » muss folglich Oi 
also € durch 4,'CH, theilbar sein. Nun ist aber € eine invariante 
Untergruppe von €’. Enthielte daher ec’ den Primfactor p nieht in 
einer höheren als der yten Potenz, so gäbe es nach Satz I. in € nicht 
mehr als eine Gruppe € der Ordnung p?. 
VI Ist die Gruppe A der Ordnung p“ theilbar durch die Gruppe 
G der Ordnung p?, und ist a>®>y, so giebt es eine Gruppe B der 
Ordnung pP, die in A enthalten ist und & enthält. Ist & eine invariante 
Untergruppe von A, so giebt es eine Gruppe B, die auch eine invariante 
Untergruppe von WA ist. 
Ist die Ordnung einer Gruppe eine Potenz der Primzahl p, so 
ist auch die Ordnung jedes ihrer Elemente Q eine Potenz von p, etwa 
p‘. Dann hat ae —P die Ordnung p, und die Potenzen von P 
bilden eine Untergruppe der Ordnung p. 
Bilden die mit & vertauschbaren Elemente von X eine Gruppe € 
der Ordnung p”, so ist nach V. y’>y (vergl. auch Nrrro, Unter- 
suchungen aus der Theorie der Substitutionengruppen, CrEıLe’s Journ. 
Bd. 103, S. 335, Anm.). Die Gruppe = der Ordnung p””” enthält 
eine Gruppe C der Ordnung p. Es giebt also in A eine durch € 
theilbare Gruppe €, der Ordnung p’*', ebenso eine durch €, theil- 
bare Gruppe 6, der Ordnung p”**,--- endlich eine durch € theilbare 
Gruppe ®. 
Eine Gruppe WA der Ordnung p“* enthält ein Element P der Ord- 
nung p, das mit jedem Elemente von A vertauschbar ist: Sind zwei 
Elemente von 4 einem dritten conjugirt (in Bezug auf A), so sind 
sie es auch unter einander. Daher kann man die Elemente von X in 
Ulassen eonjugirter Elemente theilen. Sei m ihre Anzahl, und sei A, ein 
Element der u“ Classe. Bilden die mit A, vertauschbaren Elemente 
von 5 eine Gruppe der Ordnung p“«, so besteht die u“ Classe aus 
p““« verschiedenen Elementen (vergl. meine Arbeit: Neuer Beweis des 
Srrow’schen Satzes, CrerLe’s Journ. Bd. 100, S. 181, [2]). Folglich ist 
p“ — per per... perim, 
