174 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Gehört das Hauptelement der ersten Classe an, so ist 2 —=«. Daher 
muss es noch mindestens einen Index #>1 geben, für den «, = «a 
ist. Dann ist A, mit jedem Elemente von 4 vertauschbar, also auch 
jede Potenz von A, (Syrow, a. a. 0. $. 3). 
Die Potenzen von P bilden eine Gruppe W, der Ordnung p, die 
eine invariante Untergruppe von X ist. Ebenso hat En eine invariante 
y 
Untergruppe ©, der Ordnung p, also 4 eine invariante Untergruppe 
‚ der Ordnung p’u.s. w. Ist y<d<a, und ist E eine invariante 
2 sp e; 
€ eine invariante 
Untergruppe T der Ordnung p°"?, also hat W eine durch & theilbare 
Untergruppe von 4, deren Ordnung 9° ist, so hat 
invariante Untergruppe der Ordnung p°. 
VI. Ist p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung 
einer Gruppe 9 aufgeht, so sind je zwei in 9 enthaltene Gruppen der 
Ordnung p“ conjugirt in Bezug auf 9; und jede Untergruppe von 9, deren 
Ordnung eine Potenz von p ist, ist in einer Untergruppe von 9 enthalten, 
deren Ordnung p* ist. 
Sei <a, und seien A und ®B irgend zwei in 5 enthaltene 
Gruppen der Ordnungen p“ und p®. Bilden H,,H,,--H, ein voll- 
ständiges Restsystem von 5 (modd. A,®8), so ist 
h Ir) 8 8 
en, 
ae Por 
wo p°« die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors der beiden 
Gruppen = H,AH, und ® ist. Auf der linken Seite dieser 
Gleichung steht eine Zahl, die nicht durch p theilbar ist. Daher 
können die »n Glieder der rechten Seite nicht alle durch p theilbar 
sein. Für mindestens einen Werth von u ist folglich ,=B; und 
dann ist A, durch ® theilbar. It &=z, so ist ,—®, die Gruppen 
A und ® sind in Bezug auf 9 conjugirt, d.h. es giebt in 9 ein 
solches Element H, dass H'AH—% ist (Syrow, a.a. 0. $. 2). 
VII. Ist p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ord- 
nung h einer Gruppe 9 aufgeht, so ist die Anzahl der verschiedenen in 
9 enthaltenen Untergruppen der Ordnung p“ 
IR =] (mod. p*®), 
’ 
falls die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors von irgend zwei 
verschiedenen dieser Gruppen stets <p? ist. 
Sei D eine in 9 enthaltene Gruppe der Ordnung p“. Die mit V 
vertauschbaren Elemente von 59 bilden eine Gruppe W, deren Ord- 
nung p’ durch p“ theilbar ist. Ist A=pr und 
S=WH+WHA,+--+WH, 
