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Frogenıus: Über endliche Gruppen. 175 
so enthält 59 genau r verschiedene Untergruppen der Ordnung p*, 
die alle mit VW conjugirt sind, nämlich 
(1.) HSBH, , HS’BH, ‚--- H-'DH,, 
und die ihnen entsprechenden Gruppen W sind 
(2.) H'WH,, H'WH, ‚-  H,'WH,. 
Beiläufig ergiebt sich daraus die Folgerung, dass die Zahl p’ 
von der Wahl der Gruppe VW unabhängig ist. Bilden nun H,,H,,-H, 
ein vollständiges Restsystem von 9 (modd. W,W), so ist 
h p“ 2 E 
re, 
wo p?« die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors von W und 
H,WH, ist. Die Elemente von H,'WH,, deren Ordnung in p“ auf- 
geht, bilden aber nach I. die Gruppe H,'WH,. Daher ist p’« auch 
die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors D, von W und 
H,SH,. Ist H, dem Hauptelemente aequivalent, so ist D,—®, also 
6, =a. Ist aber „>1, so ist H,H, von ® verschieden. Daher 
st d,<od und folglich nach der obigen Formel 
h 
: — =] ep) 
(3.) 7 (mod. p“®) | 
Da stets d<« ist, so ist in jedem Falle (Syrow, a.a. O. S. 586) 
h 
; ——] d. p). 
(4.) 7 (mod. p) 
Die in dem obigen Satze ausgesprochene Verallgemeinerung dieser 
Formel findet sich, wenn auch nicht vollständig formulirt, in der 
Arbeit von Syrow, Sur les groupes transitifs, dont le degre est le carre 
d’un nombre premier, Acta Math. Bd. ıı (z.B. S. 215). 
IX. Ist p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung 
einer Gruppe 59 aufgeht, bilden die Elemente von 9, die mit einer Unter- 
gruppe der Ordnung p“ vertauschbar sind, die Gruppe W, und erzeugen 
die Elemente von 9, deren Ordnung eine Potenz von p ist, die Gruppe M, 
so it H- MW das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von M und W. 
Sei H irgend ein Element von 9, sei ® eine in 5 enthaltene 
Gruppe der Ordnung p und HWA=NW. 
Die Gruppen ® und ®, sind beide in M enthalten, und ihre 
Ordnung p* ist die höchste Potenz von p, die in der Ordnung von 
M aufgeht. Nach VI. giebt es daher in M ein solches Element M, 
das MWM=W, ist. Folglich ist 
BHM") = (BH)M" — (HW,)M" — HB, M) = H(MW) = (HM')W, 
also ist HM" = P’ mit der Gruppe W vertauschbar und gehört der 
Sitzungsberichte 1895. 17 
