176 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 21. Februar. 
Gruppe W an. Da die Gleichung H= PM für jedes Element H von 
H erfüllt ist, so ist H=- WM, und da 9 eine Gruppe ist, auch 
HS=-MW. Die Gruppe M ist eine invariante Untergruppe von 9, 
also mit jedem Elemente von 5 (und von W) vertauschbar. Sie ist 
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller mit W conjugirten 
Gruppen oder auch die kleinste invariante Untergruppe von 9, die 
durch W theilbar ist, oder deren Ordnung durch p* theilbar ist. 
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Sei p“ die höchste Potenz der Primzahl p, die in der Ordnung einer 
Gruppe 9 aufgeht, A irgend eine in 9 enthaltene Gruppe der Ordnung p“, 
und p’ die Ordnung des grössten gemeinsamen Divisors D von zwei ver- 
schiedenen Gruppen A, die so gewählt sind, dass ö ein Maximum ist. 
Bilden die mit D vertauschbaren Elemente von 59 die Gruppe D der Ord- 
nung d’, so sei p’ die höchste Potenz von p, die in d’ aufgeht, und ® 
irgend eine in D' enthaltene Gruppe der Ordnung p®. 
Dann ist D ein Divisor jeder in D' enthaltenen Gruppe B, und der 
grösste gemeinsame Divisor von je zwei verschiedenen derselben. Jede in- 
variante Untergruppe von D', deren Ordnung eine Potenz von p ist, ist 
ein Divisor von D. Es ist B>d, 8 ist nicht eine invariante Untergruppe 
von D', d’ ist mindestens durch eine von p verschiedene Primzahl theilbar. 
Jede Gruppe B ist in einer und nur einer Gruppe A enthalten, und 
Jede durch D theilbare Gruppe UA enthält eine und nur eine Gruppe B, 
welche der grösste gemeinsame Divisor von A und D ist. Die Anzahl 
der durch D theilbaren Gruppen A ist gleich der Anzahl der Gruppen B. 
Sie it=1 (mod. pP?) und >pP"°. 
Ausser den Elementen von D' selbst giebt es in 5 kein Element, das 
mit D vertauschbar ist. Jedes Element von 9, das mit B vertauschbar 
ist, ist auch mit der Gruppe A vertauschbar, durch welche B theilbar ist. 
Jedes Element von D', das mit A vertauschbar ist, ist auch mit B ver- 
tauschbar. Bilden die mit A vertauschbaren Elemente von 5 die Gruppe W, 
die mit B vertauschbaren Elemente von D’' die Gruppe ®, so ist ® der 
grösste gemeinsame Divisor von W und D. 
Es wird vorausgesetzt, dass es in 5 zwei verschiedene Unter- 
gruppen A der Ordnung p“* giebt, dass also A nicht eine invariante 
Untergruppe von 9 ist. (Auch in diesem Falle gilt der obige Satz, 
falls man D=N setzt.) Ist C eine in 5 enthaltene Gruppe der Ord- 
nung p”, so giebt es in 5 eine Gruppe X der Ordnung p*, die durch 
G theilbar ist. It C=D, so enthält 9 noch eine zweite von A ver- 
schiedene Gruppe 4, der Ordnung p“, die durch € theilbar ist. Ist 
aber y>d, so ist dies nicht der Fall, weil sonst A und A, einen 
